Uma partícula de peso
desce de
a
ao longo da parábola
. Agem sobre a partícula a força da gravidade e também uma força horizontal dirigida para a direita, de módulo igual à coordenada
do ponto. Determine o trabalho realizado por essas duas forças.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de peso
que desce do ponto
até
ao longo da parábola
. Existem duas forças agindo sobre essa partícula:
- A força da gravidade, que atua para baixo.
- Uma força horizontal para a direita, cujo módulo é igual à coordenada
do ponto onde a partícula está.
Nosso objetivo é determinar o trabalho realizado por essas duas forças durante todo o trajeto da partícula.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do trabalho de uma força ao longo de um caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o caminho da partícula. A trajetória é dada pela parábola
, que vai de
até
. Podemos usar
como nosso parâmetro:
Aqui,
representa a posição da partícula em qualquer ponto ao longo do caminho.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor deslocamento infinitesimal
ao longo do caminho. Derivando
em relação a
, temos:
Então, o vetor deslocamento é:
Passo 4
Vamos identificar as duas forças que atuam na partícula:
- Força da gravidade (
): Atua para baixo com módulo , então:
- Força horizontal (
): Direcionada para a direita com módulo igual à coordenada do ponto, ou seja, :
Passo 5
O trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho é dado pela integral do produto escalar da força pelo deslocamento:
Vamos calcular separadamente o trabalho realizado pela força da gravidade e pela força horizontal.
Passo 6
Trabalho da força da gravidade (
):
Calculando o produto escalar:
Então:
Trabalho da força horizontal (
):
Calculando o produto escalar:
Então:
Resposta
O trabalho realizado pela força da gravidade é
e o trabalho realizado pela força horizontal é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
© e
é a interseção das superfícies
e
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida uma vez no sentido horário.
©
Calcule as integrais de linha diretamente e também pelo Teorema de Green:
(a) , onde
é a circunferência unitária
, com
.
(a)
Calcule as seguintes integrais:
(a) , onde
é a circunferência
.
(a)
Calcule as integrais de linha diretamente e também pelo Teorema de Green:
(b) , onde
é o caminho fechado formado por
e
, orientado positivamente.
(b)