Uma partícula de peso desce de a ao longo da parábola . Agem sobre a partícula a força da gravidade e também uma força horizontal dirigida para a direita, de módulo igual à coordenada do ponto. Determine o trabalho realizado por essas duas forças.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de peso que desce do ponto até ao longo da parábola . Existem duas forças agindo sobre essa partícula:
  1. A força da gravidade, que atua para baixo.
  2. Uma força horizontal para a direita, cujo módulo é igual à coordenada do ponto onde a partícula está.
Nosso objetivo é determinar o trabalho realizado por essas duas forças durante todo o trajeto da partícula.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do trabalho de uma força ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho da partícula. A trajetória é dada pela parábola , que vai de até . Podemos usar como nosso parâmetro:
Aqui, representa a posição da partícula em qualquer ponto ao longo do caminho.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor deslocamento infinitesimal ao longo do caminho. Derivando em relação a , temos:
Então, o vetor deslocamento é:

Passo 4

Vamos identificar as duas forças que atuam na partícula:
  1. Força da gravidade ( ): Atua para baixo com módulo , então:
  1. Força horizontal ( ): Direcionada para a direita com módulo igual à coordenada do ponto, ou seja, :

Passo 5

O trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho é dado pela integral do produto escalar da força pelo deslocamento:
Vamos calcular separadamente o trabalho realizado pela força da gravidade e pela força horizontal.

Passo 6

Trabalho da força da gravidade ( ):
Calculando o produto escalar:
Então:
Trabalho da força horizontal ( ):
Calculando o produto escalar:
Então:

Resposta

O trabalho realizado pela força da gravidade é e o trabalho realizado pela força horizontal é .

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Calcule , onde
© e é a interseção das superfícies e , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida uma vez no sentido horário.
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(a) , onde é a circunferência unitária , com .
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(a) , onde é a circunferência .
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