Calcule as integrais de linha diretamente e também pelo Teorema de Green:
(a) , onde é a circunferência unitária , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral
onde é a circunferência unitária parametrizada por e com . Para isso, vamos precisar usar o conceito de integral de linha e também o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de linha diretamente usando a parametrização da curva . Sabemos que:
Então, as derivadas são:
Agora, substituímos essas expressões na integral original.

Passo 3

Substituindo tudo na integral, temos:
Vamos simplificar os termos:
Combine termos semelhantes:
Aqui, usamos a identidade trigonométrica .

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, podemos usar a identidade , então:
A integral de de 0 a é zero, pois é uma função periódica que se anula no ciclo completo.

Passo 5

Somando os resultados:
Então, a integral de linha direta é .

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral usando o Teorema de Green. O Teorema de Green nos diz que:
onde é a região limitada por , e , .

Passo 7

Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Então, a diferença é:

Passo 8

Agora, a integral dupla sobre a região é:
Á
Como é a circunferência unitária, sua área é .

Passo 9

Portanto:
Então, usando o Teorema de Green, também obtemos que a integral de linha é .

Resposta

A integral de linha é tanto pela resolução direta quanto pelo Teorema de Green.

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