Calcule as integrais de linha diretamente e também pelo Teorema de Green:
(a) integralC(3 x-y) d x+(x+5 y) d y, onde C é a circunferência unitária x=cos t, y=sen t, com 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral
integralC(3x - y) , dx + (x + 5y) , dy
onde é a circunferência unitária parametrizada por e com . Para isso, vamos precisar usar o conceito de integral de linha e também o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de linha diretamente usando a parametrização da curva x = cos t e y = sin t . Sabemos que:
dx = -sin t , dt e dy = cos t , dt
Então, as derivadas são:
Agora, substituímos essas expressões na integral original.

Passo 3

Substituindo tudo na integral, temos:
integral0^2pi [3cos t - sin t] (-sin t) , dt + [cos t + 5sin t] (cos t) , dt
Vamos simplificar os termos:
= integral0^2pi [-3cos t sin t + sin^2 t + cos^2 t + 5sin t cos t] , dt
Combine termos semelhantes:
= integral0^2pi [(sin^2 t + cos^2 t) + ( -3cos t sin t + 5cos t sin t )] , dt
= integral0^2pi [1 + 2cos t sin t ] , dt
Aqui, usamos a identidade trigonométrica .

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^2pi 1 , dt + 2 integral0^2pi cos t sin t , dt
A primeira integral é simples:
integral0^2pi 1 , dt = 2pi
Para a segunda integral, podemos usar a identidade 2 integral0^2pi cos t sin t , dt = integral0^2pi sin 2t , dt , então:
A integral de de 0 a é zero, pois é uma função periódica que se anula no ciclo completo.

Passo 5

Somando os resultados:
2pi + 0 = 2pi
Então, a integral de linha direta é .

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral usando o Teorema de Green. O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
onde é a região limitada por , e , .

Passo 7

Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (x + 5y) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y (3x - y) = -1
Então, a diferença é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 8

Agora, a integral dupla sobre a região integral duplaD 2 , dA = 2 cdot Área(D) é:
Á
Como é a circunferência unitária, sua área é .

Passo 9

Portanto:
2 cdot pi = 2pi
Então, usando o Teorema de Green, também obtemos que a integral de linha é .

Resposta

A integral de linha é tanto pela resolução direta quanto pelo Teorema de Green.

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