Calcule as integrais de linha diretamente e também pelo Teorema de Green:
(a)
, onde
é a circunferência unitária
, com
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral
onde
é a circunferência unitária parametrizada por
e
com
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de integral de linha e também o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral de linha diretamente usando a parametrização da curva
. Sabemos que:
Então, as derivadas são:
Agora, substituímos essas expressões na integral original.
Passo 3
Substituindo tudo na integral, temos:
Vamos simplificar os termos:
Combine termos semelhantes:
Aqui, usamos a identidade trigonométrica
.
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, podemos usar a identidade
, então:
A integral de
de 0 a
é zero, pois é uma função periódica que se anula no ciclo completo.
Passo 5
Somando os resultados:
Então, a integral de linha direta é
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral usando o Teorema de Green. O Teorema de Green nos diz que:
onde
é a região limitada por
, e
,
.
Passo 7
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Então, a diferença é:
Passo 8
Agora, a integral dupla sobre a região
é:
Como
é a circunferência unitária, sua área é
.
Passo 9
Portanto:
Então, usando o Teorema de Green, também obtemos que a integral de linha é
.
Resposta
A integral de linha é
tanto pela resolução direta quanto pelo Teorema de Green.
Exercícios relacionados
Seja
uma função diferenciável e
uma primitiva de
, tal que
,
. Calcule
, onde
está situada no primeiro octante, e é a interseção das superfícies
e
, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.
Série de desintegrações radioativas: O seguinte sistema de equações diferenciais é encontrado no estudo da desintegração de um tipo especial de série de elementos radioativos:
onde
são constantes. Observe que na primeira equação tem apenas
, logo, usando um procedimento semelhante ao do exercício anterior é possível determinar
na segunda equação usando o resultado da primeira equação. Determine
e
sujeito às condições to
e
.
Calcule
, onde
© e
é a interseção das superfícies
e
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida uma vez no sentido horário.
©
Uma partícula de peso
desce de
a
ao longo da parábola
. Agem sobre a partícula a força da gravidade e também uma força horizontal dirigida para a direita, de módulo igual à coordenada
do ponto. Determine o trabalho realizado por essas duas forças.