Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . A curva é a interseção das superfícies e , e deve ser percorrida no sentido horário quando projetada no plano . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha e possivelmente o teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva . Ela é a interseção de duas superfícies:
Um paraboloide .
Um plano .
Para encontrar a curva de interseção, substituímos do paraboloide na equação do plano:
Passo 3
Vamos completar os quadrados para simplificar essa equação:
Isso representa um círculo no plano com centro em e raio .
Passo 4
Agora, para calcular a integral de linha, temos duas opções principais: parametrizar a curva ou aplicar o teorema de Stokes para transformar a integral de linha em uma integral de superfície. Vamos optar pelo teorema de Stokes, que muitas vezes simplifica os cálculos.
O teorema de Stokes diz que:
Onde é uma superfície limitada por e é o vetor normal a .
Passo 5
Primeiro, calculamos o rotacional de :
Então, .
Passo 6
Agora, precisamos escolher uma superfície limitada por . Vamos escolher a parte do paraboloide que está dentro do círculo .
Precisamos encontrar o vetor normal . Como a parametrização é mais simples no paraboloide, usamos:
Mas para simplificar, como a integral depende apenas da direção, podemos usar a unidade normal na direção positiva de .
Passo 7
A integral de superfície fica então:
Passo 8
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares deslocadas. Mas isso pode complicar, então perceba que a integral sobre a simetria do círculo centrado em pode simplificar termos com e , já que a integral de e sobre um círculo centrado diferente de origem pode não ser zero. No entanto, para simplificar, vamos reconhecer que devido à simetria, a integral de e será proporcional ao centro do círculo.
Finalmente, considerando simplificações geométricas, a integral se reduz a: