Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . A curva é a interseção das superfícies e , e deve ser percorrida no sentido horário quando projetada no plano . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha e possivelmente o teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva . Ela é a interseção de duas superfícies:
Um paraboloide .
Um plano .
Para encontrar a curva de interseção, substituímos do paraboloide na equação do plano:
Passo 3
Vamos completar os quadrados para simplificar essa equação:
Isso representa um círculo no plano com centro em e raio .
Passo 4
Agora, para calcular a integral de linha, temos duas opções principais: parametrizar a curva ou aplicar o teorema de Stokes para transformar a integral de linha em uma integral de superfície. Vamos optar pelo teorema de Stokes, que muitas vezes simplifica os cálculos.
O teorema de Stokes diz que:
Onde é uma superfície limitada por e é o vetor normal a .
Passo 5
Primeiro, calculamos o rotacional de :
Então, nabla times F = (1, 1, 1).
Passo 6
Agora, precisamos escolher uma superfície S limitada por C. Vamos escolher a parte do paraboloide z = x^2 + y^2 que está dentro do círculo (x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 6.
Precisamos encontrar o vetor normal n. Como a parametrização é mais simples no paraboloide, usamos:
n = (-2x, -2y, 1)raiz4x^2 + 4y^2 + 1
Mas para simplificar, como a integral depende apenas da direção, podemos usar a unidade normal na direção positiva de z.
Passo 7
A integral de superfície fica então:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (1, 1, 1) cdot ( -2x, -2y, 1 ) , dS = integral duplaS (-2x -2y +1) , dS
Passo 8
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares deslocadas. Mas isso pode complicar, então perceba que a integral sobre a simetria do círculo centrado em (-2, -1) pode simplificar termos com x e y, já que a integral de x e y sobre um círculo centrado diferente de origem pode não ser zero. No entanto, para simplificar, vamos reconhecer que devido à simetria, a integral de x e y será proporcional ao centro do círculo.
Finalmente, considerando simplificações geométricas, a integral se reduz a:
integral duplaS (-2x -2y +1) , dS = -2(-2) cdot Área -2(-1) cdot Área + Área ÁÁÁ
= 4 cdot Área + 2 cdot Área + Área = 7 cdot Área ÁÁÁÁ
A área do círculo é pi r^2 = pi ( raiz6 )^2 = 6pi.