Calcule integralC P d x+Q d y+R d z, onde
© F=(P, Q, R)=(z, x, y) e C é a interseção das superfícies z=x^2+y^2 e 4 x+2 y+z=1, orientada de modo que sua projeção no plano x y seja percorrida uma vez no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha integralC P , dx + Q , dy + R , dz, onde o campo vetorial é F = (P, Q, R) = (z, x, y). A curva C é a interseção das superfícies z = x^2 + y^2 e 4x + 2y + z = 1, e deve ser percorrida no sentido horário quando projetada no plano xy. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha e possivelmente o teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva C. Ela é a interseção de duas superfícies:
  1. Um paraboloide z = x^2 + y^2.
  2. Um plano 4x + 2y + z = 1.
Para encontrar a curva de interseção, substituímos z do paraboloide na equação do plano:
4x + 2y + (x^2 + y^2) = 1 Rightarrow x^2 + y^2 + 4x + 2y - 1 = 0

Passo 3

Vamos completar os quadrados para simplificar essa equação:
x^2 + 4x + y^2 + 2y = 1 (x^2 + 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = 1 + 4 + 1 (x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 6
Isso representa um círculo no plano xy com centro em (-2, -1) e raio raiz6.

Passo 4

Agora, para calcular a integral de linha, temos duas opções principais: parametrizar a curva C ou aplicar o teorema de Stokes para transformar a integral de linha em uma integral de superfície. Vamos optar pelo teorema de Stokes, que muitas vezes simplifica os cálculos.
O teorema de Stokes diz que:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde S é uma superfície limitada por C e n é o vetor normal a S.

Passo 5

Primeiro, calculamos o rotacional de F:
nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z z & x & y = ( partial ypartial y - partial xpartial z ) i - ( partial ypartial x - partial zpartial z ) j + ( partial xpartial x - partial zpartial y ) k = (1 - 0)i - (0 - 1)j + (1 - 0)k = i + j + k
Então, nabla times F = (1, 1, 1).

Passo 6

Agora, precisamos escolher uma superfície S limitada por C. Vamos escolher a parte do paraboloide z = x^2 + y^2 que está dentro do círculo (x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 6.
Precisamos encontrar o vetor normal n. Como a parametrização é mais simples no paraboloide, usamos:
n = (-2x, -2y, 1)raiz4x^2 + 4y^2 + 1
Mas para simplificar, como a integral depende apenas da direção, podemos usar a unidade normal na direção positiva de z.

Passo 7

A integral de superfície fica então:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (1, 1, 1) cdot ( -2x, -2y, 1 ) , dS = integral duplaS (-2x -2y +1) , dS

Passo 8

Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares deslocadas. Mas isso pode complicar, então perceba que a integral sobre a simetria do círculo centrado em (-2, -1) pode simplificar termos com x e y, já que a integral de x e y sobre um círculo centrado diferente de origem pode não ser zero. No entanto, para simplificar, vamos reconhecer que devido à simetria, a integral de x e y será proporcional ao centro do círculo.
Finalmente, considerando simplificações geométricas, a integral se reduz a:
integral duplaS (-2x -2y +1) , dS = -2(-2) cdot Área -2(-1) cdot Área + Área ÁÁÁ
= 4 cdot Área + 2 cdot Área + Área = 7 cdot Área ÁÁÁÁ
A área do círculo é pi r^2 = pi ( raiz6 )^2 = 6pi.

Passo 9

Substituindo, temos:
7 cdot 6pi = 42pi

Resposta

A integral vale 42pi.

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