Seja
uma função diferenciável e
uma primitiva de
, tal que
,
. Calcule
, onde
está situada no primeiro octante, e é a interseção das superfícies
e
, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos duas funções:
, que é diferenciável, e
, que é uma primitiva de
(ou seja,
). Sabemos que
e
. Precisamos calcular uma integral de linha sobre a curva
, que está no primeiro octante e é a interseção das superfícies
e
, percorrida no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente campos vetoriais conservativos e o teorema fundamental das integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial dado na integral:
Podemos notar que esse campo pode ser escrito como:
onde
e
.
Passo 3
Vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Além disso, se
for conservativo, a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada será zero.
Calculando o rotor de
:
Como o rotor é nulo,
é um campo conservativo.
Passo 4
Como
é conservativo, podemos usar o teorema fundamental das integrais de linha, que nos diz que a integral de
ao longo de uma curva fechada
é igual a zero:
Isso ocorre porque para campos conservativos, a integral depende apenas dos pontos finais, e em uma curva fechada, os pontos iniciais e finais são os mesmos.
Passo 5
Portanto, não precisamos nos preocupar com a parametrização específica da curva
ou com os valores dados de
e
, já que a integral de um campo conservativo sobre uma curva fechada é sempre zero.
Resposta
A integral vale
.
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Série de desintegrações radioativas: O seguinte sistema de equações diferenciais é encontrado no estudo da desintegração de um tipo especial de série de elementos radioativos:
onde
são constantes. Observe que na primeira equação tem apenas
, logo, usando um procedimento semelhante ao do exercício anterior é possível determinar
na segunda equação usando o resultado da primeira equação. Determine
e
sujeito às condições to
e
.
Resolva as equações abaixo:
Calcule as integrais de linha diretamente e também pelo Teorema de Green:
(a) , onde
é a circunferência unitária
, com
.
(a)
Calcule
, onde
© e
é a interseção das superfícies
e
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida uma vez no sentido horário.
©