Seja uma função diferenciável e uma primitiva de , tal que , . Calcule , onde está situada no primeiro octante, e é a interseção das superfícies e , percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos duas funções: , que é diferenciável, e , que é uma primitiva de (ou seja, ). Sabemos que e . Precisamos calcular uma integral de linha sobre a curva , que está no primeiro octante e é a interseção das superfícies e , percorrida no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente campos vetoriais conservativos e o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial dado na integral:
Podemos notar que esse campo pode ser escrito como:
onde e .

Passo 3

Vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que . Além disso, se for conservativo, a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada será zero.
Calculando o rotor de :
Como o rotor é nulo, é um campo conservativo.

Passo 4

Como é conservativo, podemos usar o teorema fundamental das integrais de linha, que nos diz que a integral de ao longo de uma curva fechada é igual a zero:
Isso ocorre porque para campos conservativos, a integral depende apenas dos pontos finais, e em uma curva fechada, os pontos iniciais e finais são os mesmos.

Passo 5

Portanto, não precisamos nos preocupar com a parametrização específica da curva ou com os valores dados de e , já que a integral de um campo conservativo sobre uma curva fechada é sempre zero.

Resposta

A integral vale .

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Série de desintegrações radioativas: O seguinte sistema de equações diferenciais é encontrado no estudo da desintegração de um tipo especial de série de elementos radioativos:
onde são constantes. Observe que na primeira equação tem apenas , logo, usando um procedimento semelhante ao do exercício anterior é possível determinar na segunda equação usando o resultado da primeira equação. Determine e sujeito às condições to e .
Resolva as equações abaixo:
Calcule as integrais de linha diretamente e também pelo Teorema de Green:
(a) , onde é a circunferência unitária , com .
Calcule , onde
© e é a interseção das superfícies e , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida uma vez no sentido horário.