Série de desintegrações radioativas: O seguinte sistema de equações diferenciais é encontrado no estudo da desintegração de um tipo especial de série de elementos radioativos:
onde
são constantes. Observe que na primeira equação tem apenas
, logo, usando um procedimento semelhante ao do exercício anterior é possível determinar
na segunda equação usando o resultado da primeira equação. Determine
e
sujeito às condições to
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais que descreve a desintegração de elementos radioativos. O objetivo é encontrar as funções
e
que satisfazem o sistema:
Com as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e técnicas para resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a primeira equação para encontrar
. A equação é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e pode ser resolvida separando as variáveis.
Passo 3
Reescrevemos a equação separando
e
:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 4
Após integrar, temos:
Onde
é a constante de integração. Podemos eliminar o valor absoluto já que
representa uma quantidade física e assumimos que é positiva.
Passo 5
Resolvendo para
, exponenciamos ambos os lados:
Podemos escrever
como outra constante
. Usando a condição inicial
:
Então, a solução para
é:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda equação para
:
Sabemos que
, então substituímos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando o fator integrante.
Passo 7
Calculamos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada da multiplicação
:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo a integral:
Passo 10
Então, temos:
Resolvendo para
:
Passo 11
Aplicamos a condição inicial
:
Resolvendo para
:
Mas, para simplificar, podemos reescrever a expressão de
de forma mais clara.
Passo 12
Consolidando tudo, a solução final para
fica:
Resposta
As soluções são:
e
Exercícios relacionados
Resolva as equações abaixo:
Resolva as equações abaixo:
Seja
uma função diferenciável e
uma primitiva de
, tal que
,
. Calcule
, onde
está situada no primeiro octante, e é a interseção das superfícies
e
, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.
Calcule as integrais de linha diretamente e também pelo Teorema de Green:
(a) , onde
é a circunferência unitária
, com
.
(a)