Série de desintegrações radioativas: O seguinte sistema de equações diferenciais é encontrado no estudo da desintegração de um tipo especial de série de elementos radioativos:
d/dt x = -lambda1 x d/dt y = lambda1 x - lambda2 y
onde lambda1 e lambda2 são constantes. Observe que na primeira equação tem apenas x(t), logo, usando um procedimento semelhante ao do exercício anterior é possível determinar y(t) na segunda equação usando o resultado da primeira equação. Determine x(t) e y(t) sujeito às condições to x(0) = 1 e y(0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais que descreve a desintegração de elementos radioativos. O objetivo é encontrar as funções d/dt x = -lambda1 x d/dt y = lambda1 x - lambda2 y e que satisfazem o sistema:
Com as condições iniciais e . Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e técnicas para resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a primeira equação para encontrar . A equação é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e pode ser resolvida separando as variáveis.

Passo 3

Reescrevemos a equação separando e :
Agora, integramos ambos os lados:

Passo 4

Após integrar, temos:
Onde é a constante de integração. Podemos eliminar o valor absoluto já que representa uma quantidade física e assumimos que é positiva.

Passo 5

Resolvendo para , exponenciamos ambos os lados:
Podemos escrever como outra constante . Usando a condição inicial :
Então, a solução para é:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda equação para :
Sabemos que , então substituímos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando o fator integrante.

Passo 7

Calculamos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada da multiplicação :

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo a integral:

Passo 10

Então, temos:
Resolvendo para :

Passo 11

Aplicamos a condição inicial :
Resolvendo para :
Mas, para simplificar, podemos reescrever a expressão de de forma mais clara.

Passo 12

Consolidando tudo, a solução final para fica:

Resposta

As soluções são:
e

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