Calcule as integrais de linha:
de f(x, y) = x^3 * y + y^2 sobre a curva gamma(t) = cos(t), sen(t), com t in [0, pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral de linha da função sobre a curva no intervalo . Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente às integrais de linha, onde a gente integra uma função ao longo de uma curva no plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . A curva já está dada na forma paramétrica:
com variando de a .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na função :

Passo 4

Para calcular a integral de linha, precisamos da derivada da curva , ou seja, :
A magnitude de é:
Então, .

Passo 5

A integral de linha se transforma em:

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:

Passo 7

Primeira integral:
Fazendo a substituição , . A integral se torna:
Avaliando de a :

Passo 8

Segunda integral:
Usamos a identidade trigonométrica :
Integrando:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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