Calcule as integrais de linha:
de
sobre a curva
,
, com
.
de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral de linha da função
sobre a curva no intervalo
. Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente às integrais de linha, onde a gente integra uma função ao longo de uma curva no plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. A curva já está dada na forma paramétrica:
com
variando de
a
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na função
:
Passo 4
Para calcular a integral de linha, precisamos da derivada da curva
, ou seja,
:
A magnitude de
é:
Então,
.
Passo 5
A integral de linha
se transforma em:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 7
Primeira integral:
Fazendo a substituição
, . A integral se torna:
Avaliando de
a
:
Passo 8
Segunda integral:
Usamos a identidade trigonométrica :
Integrando:
Resposta
A integral de linha é igual a
.