Vamos admitir um objeto com massa M localizado na origem do R^3. Seja X = (x, y, z) o vetor posição de um outro objeto de massa m. A Lei de Gravitação de Newton nos dá que a força gravitacional agindo no objeto de massa m em X = (x, y, z) é F(X) = -m M G / ||X||^3 X, onde G é a constante gravitacional. O campo vetorial F é chamado de campo gravitacional.
(b) Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional F ao mover o objeto de massa m do ponto P = (1, 3, 5) ao ponto Q = (2, 0, 2) ao longo de um segmento de reta.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um exercício de Lei da Gravitação de Newton. Basicamente, temos duas massas: uma de massa M na origem e outra de massa m em algum ponto no espaço tridimensional. A questão pede para calcular o trabalho realizado pelo campo gravitacional F quando movemos a massa m do ponto para o ponto ao longo de uma reta. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular trabalho em campos de força e como parametrizar o caminho entre os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho no contexto de um campo de força. O trabalho W realizado por um campo de força F ao mover um objeto ao longo de um caminho C é dado pela integral de linha:
Aqui, representa o produto escalar entre a força e o deslocamento infinitesimal ao longo do caminho.

Passo 3

Como o movimento é ao longo de um segmento de reta de P a Q, podemos parametrizar o caminho de forma simples. Vamos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1 para representar o deslocamento de P a Q.
A parametrização fica:
Aqui, quando , estamos em P, e quando , chegamos em Q.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t para obter :
Então, .

Passo 5

Vamos expressar o campo gravitacional F na parametrização que definimos. A distância é:
Mas, para facilitar, vamos manter como está e substituir na expressão de F:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Calculando o produto escalar:
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão do trabalho:
Essa integral pode ser complexa para resolver diretamente, mas como o campo gravitacional é conservativo, podemos simplificar usando a diferença de potencial gravitacional entre os pontos Q e P.

Passo 8

O potencial gravitacional U é dado por:
Como o trabalho em um campo conservativo é a diferença de potencial:

Passo 9

Vamos calcular as normas e :
Para :
Para :

Passo 10

Substituindo na expressão do trabalho:
Podemos simplificar ainda mais se quisermos, mas essa expressão já representa o trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover a massa m de P para Q.

Resposta

O trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover a massa m de para ao longo de uma reta é

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