Vamos admitir um objeto com massa
localizado na origem do
. Seja
o vetor posição de um outro objeto de massa
. A Lei de Gravitação de Newton nos dá que a força gravitacional agindo no objeto de massa
em
é
, onde
é a constante gravitacional. O campo vetorial
é chamado de campo gravitacional.
(b) Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional
ao mover o objeto de massa
do ponto
ao ponto
ao longo de um segmento de reta.
(b) Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um exercício de Lei da Gravitação de Newton. Basicamente, temos duas massas: uma de massa
na origem e outra de massa
em algum ponto
no espaço tridimensional. A questão pede para calcular o trabalho realizado pelo campo gravitacional
quando movemos a massa
do ponto
para o ponto
ao longo de uma reta. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular trabalho em campos de força e como parametrizar o caminho entre os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho no contexto de um campo de força. O trabalho
realizado por um campo de força
ao mover um objeto ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
Aqui,
representa o produto escalar entre a força e o deslocamento infinitesimal ao longo do caminho.
Passo 3
Como o movimento é ao longo de um segmento de reta de
a
, podemos parametrizar o caminho de forma simples. Vamos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1 para representar o deslocamento de
a
.
A parametrização fica:
Aqui, quando
, estamos em
, e quando
, chegamos em
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para obter
:
Então,
.
Passo 5
Vamos expressar o campo gravitacional
na parametrização que definimos. A distância
é:
Mas, para facilitar, vamos manter
como está e substituir na expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na expressão do trabalho:
Essa integral pode ser complexa para resolver diretamente, mas como o campo gravitacional é conservativo, podemos simplificar usando a diferença de potencial gravitacional entre os pontos
e
.
Passo 8
O potencial gravitacional
é dado por:
Como o trabalho em um campo conservativo é a diferença de potencial:
Passo 9
Vamos calcular as normas
e
:
Para
:
Para
:
Passo 10
Substituindo na expressão do trabalho:
Podemos simplificar ainda mais se quisermos, mas essa expressão já representa o trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover a massa
de
para
.
Resposta
O trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover a massa
de
para
ao longo de uma reta é