A força exercida pela carga elétrica colocada na origem sobre uma partícula carregada com vetor posição
é
onde
é uma constante.
(a) Mostre que o campo
é conservativo e exiba sua função potencial.
(a) Mostre que o campo
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos uma força elétrica dada por:
Aqui,
é o vetor posição da partícula, e
é uma constante. O que a questão quer é que a gente mostre que esse campo de força é conservativo e achar a função potencial correspondente. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial a partir dele.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é um campo conservativo. Um campo de força é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial, ou seja:
Além disso, uma propriedade importante de campos conservativos é que sua circulação em qualquer caminho fechado é zero, o que também implica que o rotor do campo (ou seja, o “giro” do campo) é zero:
Então, para mostrar que
é conservativo, podemos verificar se seu rotor é zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotor de
. Sabemos que:
A operação do rotor em coordenadas cartesianas para um vetor
é dada por:
Então, vamos calcular cada componente do rotor.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro,
Calculando
:
Usamos a regra da cadeia:
Simplificando:
De forma semelhante, podemos calcular as outras derivadas parciais e ver que todas as componentes do rotor são zero.
Passo 5
Após calcular todas as componentes do rotor, constatamos que:
Isso mostra que o campo de força
tem rotor zero, o que significa que ele é conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que
é conservativo, podemos encontrar a função potencial
tal que:
Vamos integrar
para encontrar
.
Passo 7
Considerando que a força é radial e simétrica, a função potencial
dependerá apenas da distância
. Assim, podemos escrever:
Substituindo
:
Passo 8
Integrando:
Podemos escolher a constante
sem perda de generalidade, então:
Resposta
O campo
é conservativo e sua função potencial é: