A força exercida pela carga elétrica colocada na origem sobre uma partícula carregada com vetor posição r = (x, y, z) é
F(r) = K r / ||r||^3
onde K é uma constante.
(a) Mostre que o campo F é conservativo e exiba sua função potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos uma força elétrica dada por:
Aqui, é o vetor posição da partícula, e K é uma constante. O que a questão quer é que a gente mostre que esse campo de força é conservativo e achar a função potencial correspondente. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial a partir dele.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um campo conservativo. Um campo de força é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial, ou seja:
Além disso, uma propriedade importante de campos conservativos é que sua circulação em qualquer caminho fechado é zero, o que também implica que o rotor do campo (ou seja, o “giro” do campo) é zero:
Então, para mostrar que F é conservativo, podemos verificar se seu rotor é zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotor de F. Sabemos que:
A operação do rotor em coordenadas cartesianas para um vetor é dada por:
Então, vamos calcular cada componente do rotor.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro,
Calculando :
Usamos a regra da cadeia:
Simplificando:
De forma semelhante, podemos calcular as outras derivadas parciais e ver que todas as componentes do rotor são zero.

Passo 5

Após calcular todas as componentes do rotor, constatamos que:
Isso mostra que o campo de força F tem rotor zero, o que significa que ele é conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que F é conservativo, podemos encontrar a função potencial V tal que:
Vamos integrar F para encontrar V.

Passo 7

Considerando que a força é radial e simétrica, a função potencial V dependerá apenas da distância . Assim, podemos escrever:
Substituindo F:

Passo 8

Integrando:
Podemos escolher a constante sem perda de generalidade, então:

Resposta

O campo F é conservativo e sua função potencial é:

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