Calcule as integrais de linha.
integral(12, pi)^(1,0)(cos (x y)-x y sen(x y)) i-x^2 sen(x y) j d gamma.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral de linha do campo vetorial ao longo de um caminho que vai do ponto até o ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e vamos precisar parametrizar o caminho entre os dois pontos.

Passo 2

Como não foi especificado nenhum caminho particular, vamos assumir que o trajeto é uma linha reta que conecta os pontos e . Isso nos facilita a parametrização do caminho.

Passo 3

Vamos parametrizar a linha reta. Para isso, definimos um parâmetro x(t) = 12 + (1 - 12) t = 12 + 12 t que varia de 0 a 1, onde:
y(t) = pi + (0 - pi) t = pi (1 - t)
Assim, quando , temos o ponto inicial , e quando , chegamos ao ponto final .

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas de dxdt = 12 e dydt = -pi em relação a :

Passo 5

A integral de linha pode ser escrita como:
Substituindo integral0^1 [ (cos(x(t) y(t)) - x(t) y(t) sen(x(t) y(t))) cdot dxdt + (-x(t)^2 sen(x(t) y(t))) cdot dydt ] dt , integral0^1 [ (cos((12 + 12 t) pi (1 - t)) - (12 + 12 t) pi (1 - t) sen((12 + 12 t) pi (1 - t))) cdot 12 ] , + [ -(12 + 12 t)^2 sen((12 + 12 t) pi (1 - t)) cdot (-pi) ] dt e :
Essa integral pode ser avaliada numericamente utilizando métodos de integração apropriados, já que a expressão resultante é bastante complexa para ser integrada analiticamente.

Resposta

A integral de linha é calculada pela expressão acima e pode ser avaliada numericamente para obter seu valor final aproximado.

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