Considere o campo F(x, y) = [(1/x) + e^x] i + [(2/y) - sen(y)] j definido em todos os pontos d e R^2.
Calcule o trabalho realizado pelo campo F para deslocar uma partícula sobre o plano xy do ponto 1,1 até (1, 2 pi).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial específico quando uma partícula se move no plano xy do ponto (1, 1) até o ponto (1, 2π). Aqui, vamos usar conceitos de campos vetoriais e cálculo de trabalho através de integrais de linha. Precisamos entender como integrar o campo vetorial ao longo do caminho definido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho em um campo vetorial. O trabalho realizado por um campo vetorial F ao mover uma partícula de um ponto A para um ponto B é dado pela integral de linha de F ao longo do caminho escolhido. A fórmula geral é:
onde é o caminho de A até B, é o campo vetorial, e é um elemento infinitesimal do caminho.

Passo 3

No nosso caso, o campo vetorial é:
E queremos mover a partícula do ponto até . Observe que o ponto inicial e final têm a mesma coordenada x, ou seja, . Isso significa que o movimento será vertical ao longo da linha , variando apenas o valor de de 1 até .

Passo 4

Vamos parametrizar o caminho . Como permanece constante em 1, podemos definir:
onde varia de 1 até .
O vetor posição fica:
E o diferencial é:

Passo 5

Agora, substituímos e na expressão do campo :

Passo 6

Calculamos o produto escalar :

Passo 7

Agora, montamos a integral para calcular o trabalho:
Vamos integrar termo a termo.

Passo 8

Integrando :
E integrando :
Portanto, a integral completa é:

Passo 9

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 10

Calculando a diferença:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo F ao deslocar a partícula de até é:

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