Considere o campo definido em todos os pontos .
Calcule o trabalho realizado pelo campo para deslocar uma partícula sobre o plano xy do ponto até .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial específico quando uma partícula se move no plano xy do ponto (1, 1) até o ponto (1, 2π). Aqui, vamos usar conceitos de campos vetoriais e cálculo de trabalho através de integrais de linha. Precisamos entender como integrar o campo vetorial ao longo do caminho definido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho em um campo vetorial. O trabalho realizado por um campo vetorial F ao mover uma partícula de um ponto A para um ponto B é dado pela integral de linha de F ao longo do caminho escolhido. A fórmula geral é:
onde é o caminho de A até B, é o campo vetorial, e é um elemento infinitesimal do caminho.
Passo 3
No nosso caso, o campo vetorial é:
E queremos mover a partícula do ponto até . Observe que o ponto inicial e final têm a mesma coordenada x, ou seja, . Isso significa que o movimento será vertical ao longo da linha , variando apenas o valor de de 1 até .
Passo 4
Vamos parametrizar o caminho . Como permanece constante em 1, podemos definir:
onde varia de 1 até .
O vetor posição fica:
E o diferencial é:
Passo 5
Agora, substituímos e na expressão do campo :
Passo 6
Calculamos o produto escalar :
Passo 7
Agora, montamos a integral para calcular o trabalho:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 8
Integrando :
E integrando :
Portanto, a integral completa é:
Passo 9
Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :
Passo 10
Calculando a diferença:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo F ao deslocar a partícula de até é: