Considere
definido por
e
e
.
Justifique que
é simplesmente conexo e que
é conservativo em
.
Justifique que
Passo 1
Entendendo a Questão
Vamos analisar o que você nos pediu. Temos um campo vetorial
definido no conjunto
. Precisamos mostrar duas coisas:
-
é simplesmente conexo: Isso significa que não tem “buracos” e que qualquer caminho fechado dentro de pode ser contraído a um único ponto sem sair de . -
é conservativo em : Um campo vetorial conservativo é aquele que pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Para que isso aconteça, certas condições matemáticas devem ser satisfeitas.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Mostrando que
é Simplesmente Conexo
Primeiro, vamos entender o que significa ser simplesmente conexo. Em termos simples, um conjunto é simplesmente conexo se for contínuo (não separado em partes) e não tiver buracos. No plano
, isso significa que qualquer laço dentro do conjunto pode ser “esticado” até se tornar um ponto sem sair do conjunto.
No nosso caso,
representa todo o plano acima do eixo
. Esse conjunto é contínuo e aberto (não há pontos faltando) e, claro, não possui buracos. Não importa como você desenhe um caminho fechado dentro de
, você sempre pode encolhê-lo até um ponto sem sair de
.
Conclusão:
é simplesmente conexo porque é um domínio contínuo, aberto e sem buracos no plano.
Passo 3
Verificando se
é Conservativo em
Agora, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo em
.
Para um campo vetorial
ser conservativo em um domínio simplesmente conexo como
, duas condições devem ser satisfeitas:
-
Existência de uma Função Potencial: Deve existir uma função escalar
tal que , ou seja, e . -
Igualdade das Derivadas Cruzadas: As derivadas parciais de
e devem satisfazer .
Vamos verificar a segunda condição, pois se ela for satisfeita e
for simplesmente conexo, então o campo é conservativo.
Calculando as Derivadas Parciais:
Agora, calculemos as derivadas parciais:
Comparando as Derivadas:
Como as derivadas são iguais, a segunda condição está satisfeita.
Conclusão: Como
é simplesmente conexo e as derivadas parciais satisfazem
, o campo vetorial
é conservativo em
.