Considere F: Omega subset R^2 -> R^2 definido por F(x, y) = e^(2y) i + (1 + 2x e^(2y)) j e Ω {(x, y) | x em R} e y > 0.
Justifique que Ω é simplesmente conexo e que F(x, y) é conservativo em Ω.

Passo 1

Entendendo a Questão
Vamos analisar o que você nos pediu. Temos um campo vetorial definido no conjunto . Precisamos mostrar duas coisas:
  1. é simplesmente conexo: Isso significa que não tem “buracos” e que qualquer caminho fechado dentro de pode ser contraído a um único ponto sem sair de .
  2. é conservativo em : Um campo vetorial conservativo é aquele que pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Para que isso aconteça, certas condições matemáticas devem ser satisfeitas.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Mostrando que é Simplesmente Conexo
Primeiro, vamos entender o que significa ser simplesmente conexo. Em termos simples, um conjunto é simplesmente conexo se for contínuo (não separado em partes) e não tiver buracos. No plano , isso significa que qualquer laço dentro do conjunto pode ser “esticado” até se tornar um ponto sem sair do conjunto.
No nosso caso, representa todo o plano acima do eixo . Esse conjunto é contínuo e aberto (não há pontos faltando) e, claro, não possui buracos. Não importa como você desenhe um caminho fechado dentro de , você sempre pode encolhê-lo até um ponto sem sair de .
Conclusão: é simplesmente conexo porque é um domínio contínuo, aberto e sem buracos no plano.

Passo 3

Verificando se é Conservativo em
Agora, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo em .
Para um campo vetorial ser conservativo em um domínio simplesmente conexo como , duas condições devem ser satisfeitas:
  1. Existência de uma Função Potencial: Deve existir uma função escalar tal que , ou seja, e .
  2. Igualdade das Derivadas Cruzadas: As derivadas parciais de e devem satisfazer .
Vamos verificar a segunda condição, pois se ela for satisfeita e for simplesmente conexo, então o campo é conservativo.
Calculando as Derivadas Parciais:
Agora, calculemos as derivadas parciais:
Comparando as Derivadas:
Como as derivadas são iguais, a segunda condição está satisfeita.
Conclusão: Como é simplesmente conexo e as derivadas parciais satisfazem , o campo vetorial é conservativo em .

Resposta

é simplesmente conexo e o campo vetorial é conservativo em .

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