Considere
e
como nas hipóteses do Teorema de Green.
Calcule a área da região delimitada pela reta
e pela curva
e
, para
.
Calcule a área da região delimitada pela reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a área de uma região que é delimitada por uma reta, que é
, e por uma curva paramétrica definida por
e
, onde
varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial para relacionar integrais de linha com integrais duplas. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da reta
de uma forma mais simples, isolando
:
Isso nos mostra que a reta tem inclinação e passa pela origem.
Passo 3
Agora, vamos analisar a curva parametrizada por
e
para
. Essa parametrização nos dá uma trajetória no plano XY que começa em
(
,
) e vai até
(
,
).
Passo 4
Para encontrar a área entre a reta e a curva, vamos fechar a região considerável. A reta
pode ser parametrizada de
a
, já que para
,
. Então, a curva e a reta se encontram nos pontos
e
.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Green para calcular a área
, temos:
Aqui,
é o contorno da região, que é composto pela curva parametrizada e pela reta.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular a integral ao longo da curva parametrizada (
):
Substituindo
e
pelas funções de
:
Agora, substituímos na integral:
Simplificando:
Integrando:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral ao longo da reta (
):
Ao longo da reta
, podemos parametrizar usando
como variável, de
a
:
Substituindo na integral:
Passo 8
Somando as integrais das duas partes do contorno:
Então, a área é:
Resposta
A área da região delimitada é
unidades de área.