Considere B e gamma como nas hipóteses do Teorema de Green.
Calcule a área da região delimitada pela reta 2y - x = 0 e pela curva x = t^2 + t e y = t^3, para t in [0, 1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a área de uma região que é delimitada por uma reta, que é , e por uma curva paramétrica definida por e , onde varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial para relacionar integrais de linha com integrais duplas. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da reta de uma forma mais simples, isolando :
Isso nos mostra que a reta tem inclinação e passa pela origem.

Passo 3

Agora, vamos analisar a curva parametrizada por e para . Essa parametrização nos dá uma trajetória no plano XY que começa em ( , ) e vai até ( , ).

Passo 4

Para encontrar a área entre a reta e a curva, vamos fechar a região considerável. A reta pode ser parametrizada de a , já que para , . Então, a curva e a reta se encontram nos pontos e .

Passo 5

Aplicando o Teorema de Green para calcular a área , temos:
Aqui, é o contorno da região, que é composto pela curva parametrizada e pela reta.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular a integral ao longo da curva parametrizada ( ):
Substituindo e pelas funções de :
Agora, substituímos na integral:
Simplificando:
Integrando:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral ao longo da reta ( ):
Ao longo da reta , podemos parametrizar usando como variável, de a :
Substituindo na integral:

Passo 8

Somando as integrais das duas partes do contorno:
Então, a área é:

Resposta

A área da região delimitada é unidades de área.

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