Considere o campo vetorial
e a curva
.
Calcule a integral de linha do campo
sobre a curva
.
Calcule a integral de linha do campo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! O enunciado nos dá um campo vetorial
e uma curva
. Nosso objetivo é calcular a integral de linha de
sobre
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e a definição de integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela está parametrizada por:
Isso significa que
e . Vamos precisar das derivadas dessas funções para calcular
.
Passo 3
Calculando as derivadas de
e
:
Essas derivadas nos dão a velocidade da curva em cada ponto
.
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
no campo vetorial
:
Isso simplifica o campo vetorial ao longo da curva
.
Passo 5
A integral de linha é dada por:
Calculando o produto escalar
:
Isso pode parecer complicado, mas vamos simplificar.
Passo 6
Observando a simetria e simplificando os termos, percebemos que muitos se cancelam. Além disso, ao integrar sobre um período completo de
a
, termos ímpares em funções seno e cosseno vão se anular.
Passo 7
Após simplificar a expressão e realizar a integração, concluímos que a integral de linha resulta em zero. Isso pode ser confirmado observando que o campo
possui propriedades conservativas ou utilizando o Teorema de Green, onde a integral ao redor de um caminho fechado é zero se as condições do teorema forem satisfeitas.
Resposta
A integral de linha do campo
sobre a curva
é igual a zero.