Considere o campo vetorial F(x, y) = (x / raiz(x^2 + y^2) + y) * i + (y / raiz(x^2 + y^2) + 3 * x) * j e a curva γ(t) = (cos^3(t), sen^3(t)), t ∈ [0, 2pi].
Calcule a integral de linha do campo F(x, y) sobre a curva gamma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! O enunciado nos dá um campo vetorial e uma curva . Nosso objetivo é calcular a integral de linha de sobre . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e a definição de integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela está parametrizada por:
Isso significa que e . Vamos precisar das derivadas dessas funções para calcular .

Passo 3

Calculando as derivadas de e :
Essas derivadas nos dão a velocidade da curva em cada ponto .

Passo 4

Agora, vamos substituir e no campo vetorial :
Isso simplifica o campo vetorial ao longo da curva .

Passo 5

A integral de linha é dada por:
Calculando o produto escalar :
Isso pode parecer complicado, mas vamos simplificar.

Passo 6

Observando a simetria e simplificando os termos, percebemos que muitos se cancelam. Além disso, ao integrar sobre um período completo de a , termos ímpares em funções seno e cosseno vão se anular.

Passo 7

Após simplificar a expressão e realizar a integração, concluímos que a integral de linha resulta em zero. Isso pode ser confirmado observando que o campo possui propriedades conservativas ou utilizando o Teorema de Green, onde a integral ao redor de um caminho fechado é zero se as condições do teorema forem satisfeitas.

Resposta

A integral de linha do campo sobre a curva é igual a zero.

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