Resolva as equações diferenciais.
2 sen(y^2) dx + x y cos(y^2) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
Esse tipo de equação pertence ao estudo de equações diferenciais exatas. A gente vai precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata e, assim, resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham e na equação:
Para saber se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Quando a equação não é exata, precisamos achar um fator integrante que, ao multiplicar toda a equação, a torne exata.
Vamos calcular:
Como essa expressão depende apenas de , o fator integrante será uma função de .

Passo 4

Integrando em relação a :
Então, o fator integrante é .

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original por :
Agora, a equação é exata.

Passo 6

Como é exata, existe uma função tal que:
Integramos em relação a :
Onde é uma função de .

Passo 7

Derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é constante.

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante.

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