Resolva as equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
Esse tipo de equação pertence ao estudo de equações diferenciais exatas. A gente vai precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata e, assim, resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham
e
na equação:
Para saber se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Quando a equação não é exata, precisamos achar um fator integrante que, ao multiplicar toda a equação, a torne exata.
Vamos calcular:
Como essa expressão depende apenas de
, o fator integrante será uma função de
.
Passo 4
Integrando
em relação a
:
Então, o fator integrante é
.
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original por
:
Agora, a equação é exata.
Passo 6
Como é exata, existe uma função
tal que:
Integramos em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 7
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é constante.
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante.