Seja
d) Calcule onde é uma curva fechada de classe que envolve a origem, orientada no sentido anti-horário;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral de linha da função vetorial ao longo de uma curva fechada que envolve a origem e está orientada no sentido anti-horário. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e campos vetoriais circulares. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green ou reconhecer padrões de campos que facilitam o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial . Esse tipo de campo é conhecido como campo vetorial rotacional, que representa uma rotação ao redor da origem.

Passo 3

Para calcular a integral de linha , uma abordagem eficiente é usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. O Teorema de Green diz:
onde .

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green ao nosso campo :
Calculamos as derivadas parciais:

Passo 5

Subtraindo as derivadas:
Isso significa que, segundo o Teorema de Green, a integral dupla é zero. Contudo, isso normalmente indicaria que a integral de linha também é zero, mas precisamos considerar que o campo não está definido na origem, que está dentro da curva . Portanto, o Teorema de Green não pode ser aplicado diretamente sem levar em conta a singularidade na origem.

Passo 6

Nesse caso, observamos que o campo �� equivalente ao campo angular, que tem uma circulação constante ao redor da origem. Sabemos que para uma curva que envolve a origem uma vez no sentido anti-horário, a integral de linha desse campo é igual a .

Resposta

Exercícios relacionados

Determine a area da região limitada por . (Dica: Teorema de Green).
Calcule as integrais de linha
i) e é a curva formada pelos segmentos de reta partindo do ponto para o ponto depois do ponto para o ponto e voltando para o ponto ;
Suponha que um campo de forças contínuo e que sob a ação da força , uma partícula de massa desloca-se de até sob uma trajetória descrita pela função .
b) Se é conservativo com função potencial , verifique que o trabalho realizado por de até é
em que é a energia potencial.
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
e)