Seja
d) Calcule
onde
é uma curva fechada de classe
que envolve a origem, orientada no sentido anti-horário;
d) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral de linha da função vetorial
ao longo de uma curva fechada
que envolve a origem e está orientada no sentido anti-horário. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e campos vetoriais circulares. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green ou reconhecer padrões de campos que facilitam o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial
. Esse tipo de campo é conhecido como campo vetorial rotacional, que representa uma rotação ao redor da origem.
Passo 3
Para calcular a integral de linha
, uma abordagem eficiente é usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. O Teorema de Green diz:
onde
.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green ao nosso campo
:
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
Subtraindo as derivadas:
Isso significa que, segundo o Teorema de Green, a integral dupla é zero. Contudo, isso normalmente indicaria que a integral de linha também é zero, mas precisamos considerar que o campo
não está definido na origem, que está dentro da curva
. Portanto, o Teorema de Green não pode ser aplicado diretamente sem levar em conta a singularidade na origem.
Passo 6
Nesse caso, observamos que o campo
�� equivalente ao campo angular, que tem uma circulação constante ao redor da origem. Sabemos que para uma curva que envolve a origem uma vez no sentido anti-horário, a integral de linha desse campo é igual a
.
Resposta
Exercícios relacionados
Determine a area da região limitada por
. (Dica: Teorema de Green).
Calcule as integrais de linha
i) e
é a curva formada pelos segmentos de reta partindo do ponto
para o ponto
depois do ponto
para o ponto
e voltando para o ponto
;
i)
Suponha que
um campo de forças contínuo e que sob a ação da força
, uma partícula de massa
desloca-se de
até
sob uma trajetória descrita pela função
.
b) Se é conservativo com função potencial
, verifique que o trabalho realizado por
de
até
é
b) Se
em que
é a energia potencial.
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
e)
e)