Seja F(x, y)=-y i+x jx^2+y^2
d) Calcule ointC F cdot d r onde C é uma curva fechada de classe C^1 que envolve a origem, orientada no sentido anti-horário;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral de linha da função vetorial F(x, y) = -y i + x jx^2 + y^2 ao longo de uma curva fechada C que envolve a origem e está orientada no sentido anti-horário. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e campos vetoriais circulares. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green ou reconhecer padrões de campos que facilitam o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial F(x, y) = -y i + x jx^2 + y^2. Esse tipo de campo é conhecido como campo vetorial rotacional, que representa uma rotação ao redor da origem.

Passo 3

Para calcular a integral de linha ointC F cdot dr, uma abordagem eficiente é usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. O Teorema de Green diz:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
onde F = P i + Q j.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green ao nosso campo F:
P = -yx^2 + y^2, Q = xx^2 + y^2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = (x^2 + y^2) cdot 1 - x cdot 2x(x^2 + y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2
partial Ppartial y = (x^2 + y^2) cdot (-1) - (-y) cdot 2y(x^2 + y^2)^2 = -x^2 - y^2 + 2y^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Subtraindo as derivadas:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 - -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 = 0
Isso significa que, segundo o Teorema de Green, a integral dupla é zero. Contudo, isso normalmente indicaria que a integral de linha também é zero, mas precisamos considerar que o campo F não está definido na origem, que está dentro da curva C. Portanto, o Teorema de Green não pode ser aplicado diretamente sem levar em conta a singularidade na origem.

Passo 6

Nesse caso, observamos que o campo F �� equivalente ao campo angular, que tem uma circulação constante ao redor da origem. Sabemos que para uma curva que envolve a origem uma vez no sentido anti-horário, a integral de linha desse campo é igual a 2pi.

Resposta

ointC F cdot dr = 2pi

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