Sendo F(x, y, z) = (c x^2 y^3, x - c z, sinh(x y z)), c uma constante, determine c sabendo que é nulo o fluxo do rotacional de F através da superfície 4 x^2 + y^2 + 4(z-1)^2 = 4, z ≥ 1, com uma de suas orientações.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial , onde c é uma constante que precisamos descobrir. A condição é que o fluxo do rotacional de F através da superfície definida por com z ≥ 1 seja nulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como rotacional, fluxo e o teorema de Gauss (Divergência). Vamos precisar calcular o rotacional de F e depois o fluxo desse rotacional através da superfície dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F. O rotacional (ou “curl”) de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Agora, substituindo na expressão do rotacional:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o fluxo desse rotacional através da superfície dada. O fluxo de um campo vetorial G através de uma superfície S é dado por:
Onde n é o vetor normal à superfície. Porém, calcular esse fluxo diretamente pode ser complicado. Vamos usar o Teorema de Gauss para simplificar. O Teorema de Gauss (ou Divergência) relaciona o fluxo de um campo através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume limitado pela superfície:
No nosso caso, como a superfície S não é fechada (é apenas a parte da elipsoide com z ≥ 1), precisamos fechar a superfície adicionando a base no plano z = 1. Assim, vamos ter uma superfície fechada composta por S e a base B. A condição dada é que o fluxo total seja zero, então:
éé
Mas, pelo Teorema de Gauss:
Pois a divergência do rotacional é sempre zero. Portanto, temos:
éééé
Como o fluxo total é zero, queremos que o fluxo através de S seja nulo. Isso implica que o fluxo através da base B também deve ser nulo.

Passo 4

Vamos calcular o fluxo através da base B, que está no plano z = 1. A base B é a interseção da superfície com z = 1. Substituindo z = 1:
Dividindo os dois lados por 4:
Isso é uma elipse no plano z = 1. O vetor normal à base B é , já que a orientação da superfície S é para cima ( z ≥ 1).
Agora, o fluxo através de B é:
Queremos que esse fluxo seja zero:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Isso pode ser dividido em duas integrais:
Primeiro, calculamos , que é simplesmente a área da elipse . A área de uma elipse é pi a b. No nosso caso, , , então a área é .
Agora, precisamos calcular . Para isso, usamos coordenadas que simplifiquem a elipse. Vamos fazer a mudança de variável:
Onde r varia de 0 a 1 e theta de 0 a . O Jacobiano dessa transformação é:
Então, a integral se torna:
Calculando as integrais:
E para a integral em theta:
Portanto:

Passo 6

Voltando à equação da integral:
Simplificando:

Resposta

O valor da constante c que satisfaz a condição é .

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