Sendo uma constante, determine sabendo que é nulo o fluxo do rotacional de através da superfície , com uma de suas orientações.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial , onde é uma constante que precisamos descobrir. A condição é que o fluxo do rotacional de através da superfície definida por com seja nulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como rotacional, fluxo e o teorema de Gauss (Divergência). Vamos precisar calcular o rotacional de e depois o fluxo desse rotacional através da superfície dada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de . O rotacional (ou “curl”) de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Agora, substituindo na expressão do rotacional:
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o fluxo desse rotacional através da superfície dada. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado por:
Onde é o vetor normal à superfície. Porém, calcular esse fluxo diretamente pode ser complicado. Vamos usar o Teorema de Gauss para simplificar. O Teorema de Gauss (ou Divergência) relaciona o fluxo de um campo através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume limitado pela superfície:
No nosso caso, como a superfície não é fechada (é apenas a parte da elipsoide com ), precisamos fechar a superfície adicionando a base no plano . Assim, vamos ter uma superfície fechada composta por e a base . A condição dada é que o fluxo total seja zero, então:
Mas, pelo Teorema de Gauss:
Pois a divergência do rotacional é sempre zero. Portanto, temos:
Como o fluxo total é zero, queremos que o fluxo através de seja nulo. Isso implica que o fluxo através da base também deve ser nulo.
Passo 4
Vamos calcular o fluxo através da base , que está no plano . A base é a interseção da superfície com . Substituindo :
Dividindo os dois lados por 4:
Isso é uma elipse no plano . O vetor normal à base é , já que a orientação da superfície é para cima ().
Agora, o fluxo através de é:
Queremos que esse fluxo seja zero:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Isso pode ser dividido em duas integrais:
Primeiro, calculamos , que é simplesmente a área da elipse . A área de uma elipse é . No nosso caso, , , então a área é .
Agora, precisamos calcular . Para isso, usamos coordenadas que simplifiquem a elipse. Vamos fazer a mudança de variável:
Onde varia de 0 a 1 e de 0 a . O Jacobiano dessa transformação é:
Então, a integral se torna:
Calculando as integrais:
E para a integral em theta:
Portanto:
Passo 6
Voltando à equação da integral:
Simplificando:
Resposta
O valor da constante c que satisfaz a condição é .