Use substituição trigonométrica e calcule as integrais:
(a) 1/4 sen(2 x) - 1/8 sen(4 x) + C

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral usando substituição trigonométrica e chegou até a expressão . O que isso significa é que estamos trabalhando com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas que nos ajudem a simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é a função que estamos integrando. Parece que queremos integrar uma expressão que envolve senos de múltiplos ângulos. Vamos assumir que a integral que precisamos resolver seja:
Nosso objetivo é encontrar essa integral usando substituição trigonométrica.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona o produto de senos com somas de ângulos. A identidade que vamos usar é:
Aplicando essa identidade com e , temos:
Sabemos que , então simplificamos para:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
Podemos fatorar o fora da integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo. Sabemos que:
Aplicando isso aos termos dentro da integral:

Passo 6

Simplificando os coeficientes:

Resposta

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