Calcule as seguintes integrais definidas.
(b) integral0^pi x^2 cos (k x) d x, k=1,2,3, ldots

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida , onde é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …). Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de Integração por Partes. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de integração por partes duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que utiliza a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão u = x^2 e dv = cos(kx) , dx e du = 2x , dx e v = sin(kx)k . Vamos começar definindo:
integral x^2 cos(kx) , dx = x^2 cdot sin(kx)k - integral sin(kx)k cdot 2x , dx
Agora, calculamos integral x^2 cos(kx) , dx = x^2 sin(kx)k - 2k integral x sin(kx) , dx e :
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral u = x e dv = sin(kx) , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, definimos:
du = dx e v = -cos(kx)k
Calculando integral x sin(kx) , dx = -x cos(kx)k + 1k integral cos(kx) , dx e integral cos(kx) , dx = sin(kx)k :
integral x sin(kx) , dx = -x cos(kx)k + sin(kx)k^2
Aplicando a fórmula:
integral x^2 cos(kx) , dx = x^2 sin(kx)k - 2k ( -x cos(kx)k + sin(kx)k^2 )
Integrando integral x^2 cos(kx) , dx = x^2 sin(kx)k + 2x cos(kx)k^2 - 2 sin(kx)k^3 :
Então:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos a primitiva, vamos avaliar a integral definida de [ x^2 sin(kx)k + 2x cos(kx)k^2 - 2 sin(kx)k^3 ]0^pi a pi^2 sin(kpi)k + 2pi cos(kpi)k^2 - 2 sin(kpi)k^3 :
Rightarrow pi^2 sin(kpi)k + 2pi cos(kpi)k^2 - 2 sin(kpi)k^3
Substituindo :
E substituindo (que dará zero para todos os termos já que sen(0)=0 e cos(0)=1, mas multiplicados por zero no primeiro termo):

Passo 5

Sabemos que 2pi cos(kpi)k^2 para qualquer inteiro 2pi (-1)^kk^2 , então os termos contendo desaparecem. Ficamos apenas com:
Como , podemos simplificar ainda mais:

Resposta

A integral definida é igual a .

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