Calcule as seguintes integrais definidas.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
, onde
é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …). Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de Integração por Partes. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de integração por partes duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que utiliza a fórmula:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão
e
. Vamos começar definindo:
Agora, calculamos
e
:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, definimos:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula:
Integrando
:
Então:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos a primitiva, vamos avaliar a integral definida de
a
:
Substituindo
:
E substituindo
(que dará zero para todos os termos já que sen(0)=0 e cos(0)=1, mas multiplicados por zero no primeiro termo):
Passo 5
Sabemos que
para qualquer inteiro
, então os termos contendo
desaparecem. Ficamos apenas com:
Como
, podemos simplificar ainda mais:
Resposta
A integral definida é igual a
.