Calcule as integrais de linha
k) integralC F cdot d r onde F(x, y)=-4 x(1+x^2+y^2)^3 i+-4 y(1+x^2+y^2)^3 j e C é uma curva que vai do ponto (0,1) ao ponto (1,0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva que vai do ponto ao ponto . O conteúdo envolve cálculo de integrais de linha e vetores, então vamos precisar de conceitos de parametrização de curvas e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva x(t) = t y(t) = 1 - t . Como não foi especificado o caminho que a curva segue entre e , vamos assumir que seja uma linha reta. Para isso, podemos definir uma parametrização linear:
onde varia de 0 a 1. Assim, quando , temos o ponto , e quando , chegamos ao ponto .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para dx = dxdt dt = 1 cdot dt dy = dydt dt = -1 cdot dt . Isso é feito calculando as derivadas de e em relação a :
Então, .

Passo 4

Em seguida, substituímos as parametrizações de F(x(t), y(t)) = ( -4t(1 + t^2 + (1 - t)^2)^3, -4(1 - t)(1 + t^2 + (1 - t)^2)^3 ) e na expressão do campo vetorial :

Passo 5

Calculamos agora o produto escalar F cdot dr = -4t(1 + t^2 + (1 - t)^2)^3 cdot 1 + -4(1 - t)(1 + t^2 + (1 - t)^2)^3 cdot (-1) :
F cdot dr = -4t + 4(1 - t)(1 + t^2 + (1 - t)^2)^3 = 4 - 8t(1 + t^2 + (1 - t)^2)^3
Simplificando:

Passo 6

Simplificamos o denominador:
1 + t^2 + (1 - t)^2 = 1 + t^2 + 1 - 2t + t^2 = 2 + 2t^2 - 2t = 2(1 + t^2 - t)
Portanto,
F cdot dr = 4 - 8t(2(1 + t^2 - t))^3 = 4(1 - 2t)8(1 + t^2 - t)^3 = 1 - 2t2(1 + t^2 - t)^3

Passo 7

Agora, montamos a integral:
integralC F cdot dr = integral0^1 1 - 2t2(1 + t^2 - t)^3 dt
Vamos facilitar a integração usando substituição. Seja:
u = 1 + t^2 - t dudt = 2t - 1 Rightarrow du = (2t - 1) dt Rightarrow -du = (1 - 2t) dt

Passo 8

Substituindo na integral:
integral0^1 1 - 2t2(1 + t^2 - t)^3 dt = integralu(0)^u(1) -12u^3 du
Calculando os limites de integração:
u(0) = 1 + 0 - 0 = 1 u(1) = 1 + 1 - 1 = 1

Passo 9

Observamos que os limites de integração são iguais, ou seja, de 1 a 1. Nesse caso, a integral será zero, pois não há área sob a curva quando os limites são os mesmos.

Resposta

0

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