Calcule as integrais de linha
k) onde e é uma curva que vai do ponto ao ponto ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva que vai do ponto ao ponto . O conteúdo envolve cálculo de integrais de linha e vetores, então vamos precisar de conceitos de parametrização de curvas e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como não foi especificado o caminho que a curva segue entre e , vamos assumir que seja uma linha reta. Para isso, podemos definir uma parametrização linear:
onde varia de 0 a 1. Assim, quando , temos o ponto , e quando , chegamos ao ponto .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para . Isso é feito calculando as derivadas de e em relação a :
Então, .

Passo 4

Em seguida, substituímos as parametrizações de e na expressão do campo vetorial :

Passo 5

Calculamos agora o produto escalar :
Simplificando:

Passo 6

Simplificamos o denominador:
Portanto,

Passo 7

Agora, montamos a integral:
Vamos facilitar a integração usando substituição. Seja:

Passo 8

Substituindo na integral:
Calculando os limites de integração:

Passo 9

Observamos que os limites de integração são iguais, ou seja, de 1 a 1. Nesse caso, a integral será zero, pois não há área sob a curva quando os limites são os mesmos.

Resposta

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Suponha que um campo de forças contínuo e que sob a ação da força , uma partícula de massa desloca-se de até sob uma trajetória descrita pela função .
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Seja
c) Calcule ao longo da parábola ;
Seja :
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