Calcule as integrais de linha
k)
onde
e
é uma curva que vai do ponto
ao ponto
;
k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
que vai do ponto
ao ponto
. O conteúdo envolve cálculo de integrais de linha e vetores, então vamos precisar de conceitos de parametrização de curvas e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. Como não foi especificado o caminho que a curva segue entre
e
, vamos assumir que seja uma linha reta. Para isso, podemos definir uma parametrização linear:
onde
varia de 0 a 1. Assim, quando
, temos o ponto
, e quando
, chegamos ao ponto
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a expressão para
. Isso é feito calculando as derivadas de
e
em relação a
:
Então,
.
Passo 4
Em seguida, substituímos as parametrizações de
e
na expressão do campo vetorial
:
Passo 5
Calculamos agora o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 6
Simplificamos o denominador:
Portanto,
Passo 7
Agora, montamos a integral:
Vamos facilitar a integração usando substituição. Seja:
Passo 8
Substituindo na integral:
Calculando os limites de integração:
Passo 9
Observamos que os limites de integração são iguais, ou seja, de 1 a 1. Nesse caso, a integral será zero, pois não há área sob a curva quando os limites são os mesmos.
Resposta
Exercícios relacionados
Suponha que
um campo de forças contínuo e que sob a ação da força
, uma partícula de massa
desloca-se de
até
sob uma trajetória descrita pela função
.
a) Prove que o trabalho realizado por de
até
é
a) Prove que o trabalho realizado por
em que
é a energia cinética.
Seja
c) Calcule ao longo da parábola
;
c) Calcule
Seja
:
(a) O campo é conservativo?
(a) O campo
Calcule
onde
é o arco constituído do segmento de reta
até
seguido do segmento de
até
usando o Teorema Green.