Calcule integral(y^2+sin x^3) d x+(x+y^5) d y onde C é o arco constituído do segmento de reta (1,1) até (0,0) seguido do segmento de (0,0) até (1,0) usando o Teorema Green.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha ao longo do caminho , que é formado por dois segmentos de reta: um de até e outro de até . E para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que o Teorema de Green pode ser aplicado. O teorema exige que a curva seja fechada e orientada positivamente (no sentido anti-horário). No nosso caso, temos dois segmentos: de a e de a . Para fechar a curva, vamos adicionar o segmento de de volta para , formando um triângulo. Assim, temos uma curva fechada que podemos trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções P = y^2 + sin x^3 e Q = x + y^5 e ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA da integral de linha:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região limitada pela curva .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(x + y^5) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y(y^2 + sin x^3) = 2y
Substituindo na integral dupla:
integral duplaD (1 - 2y) , dA

Passo 5

Agora, vamos descrever a região . Como formamos um triângulo com os pontos , e , podemos parametrizar entre e , e para cada , varia de 0 até a linha que vai de a , que é .

Passo 6

Vamos configurar a integral dupla:
integral duplaD (1 - 2y) , dA = integral0^1 integral0^x (1 - 2y) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integral0^x (1 - 2y) , dy = [ y - y^2 ]0^x = x - x^2 :

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^1 (x - x^2) , dx = [ x^22 - x^33 ]0^1 = ( 12 - 13 ) - 0 = 12 - 13 = 16 :

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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