Calcule onde é o arco constituído do segmento de reta até seguido do segmento de até usando o Teorema Green.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha ao longo do caminho , que é formado por dois segmentos de reta: um de até e outro de até . E para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que o Teorema de Green pode ser aplicado. O teorema exige que a curva seja fechada e orientada positivamente (no sentido anti-horário). No nosso caso, temos dois segmentos: de a e de a . Para fechar a curva, vamos adicionar o segmento de de volta para , formando um triângulo. Assim, temos uma curva fechada que podemos trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções e da integral de linha:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região limitada pela curva .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na integral dupla:

Passo 5

Agora, vamos descrever a região . Como formamos um triângulo com os pontos , e , podemos parametrizar entre e , e para cada , varia de 0 até a linha que vai de a , que é .

Passo 6

Vamos configurar a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Seja :
(a) O campo é conservativo?
Calcule as integrais de linha
k) onde e é uma curva que vai do ponto ao ponto ;
Utilize o Teorema de Green para transformar a integral dupla
em uma integral de linha. Calcule a integral de linha.
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
g) .