Calcule
onde
é o arco constituído do segmento de reta
até
seguido do segmento de
até
usando o Teorema Green.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha
ao longo do caminho
, que é formado por dois segmentos de reta: um de
até
e outro de
até
. E para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que o Teorema de Green pode ser aplicado. O teorema exige que a curva
seja fechada e orientada positivamente (no sentido anti-horário). No nosso caso, temos dois segmentos: de
a
e de
a
. Para fechar a curva, vamos adicionar o segmento de
de volta para
, formando um triângulo. Assim, temos uma curva fechada que podemos trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções
e
da integral de linha:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região limitada pela curva
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na integral dupla:
Passo 5
Agora, vamos descrever a região
. Como formamos um triângulo com os pontos
,
e
, podemos parametrizar
entre
e
, e para cada
,
varia de 0 até a linha que vai de
a
, que é
.
Passo 6
Vamos configurar a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Seja
:
(a) O campo é conservativo?
(a) O campo
Calcule as integrais de linha
k) onde
e
é uma curva que vai do ponto
ao ponto
;
k)
Utilize o Teorema de Green para transformar a integral dupla
em uma integral de linha. Calcule a integral de linha.
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
g) .
g)