Seja
:
(a) O campo
é conservativo?
(a) O campo
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Temos um campo vetorial
, definido para
e
. O objetivo é determinar se esse campo
é conservativo. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e condições necessárias para que um campo seja conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
, ou seja,
é o gradiente de
. Além disso, em domínios simplesmente conexos, um campo vetorial é conservativo se sua rotacional (ou seja, a derivada cruzada) é zero.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, vamos calcular a rotacional do campo. Em duas dimensões, a rotacional de
é dada por:
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Observamos que:
Portanto:
Passo 6
A rotacional de
é zero. Além disso, o domínio considerado (
,
) é simplesmente conexo, ou seja, não há “buracos” ou singularidades no domínio onde o campo seja definido. Portanto, as condições para que
seja conservativo estão satisfeitas.
Resposta
Sim, o campo
é conservativo.