Seja :
(a) O campo é conservativo?

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos um campo vetorial , definido para e . O objetivo é determinar se esse campo é conservativo. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e condições necessárias para que um campo seja conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar tal que , ou seja, é o gradiente de . Além disso, em domínios simplesmente conexos, um campo vetorial é conservativo se sua rotacional (ou seja, a derivada cruzada) é zero.

Passo 3

Para verificar se é conservativo, vamos calcular a rotacional do campo. Em duas dimensões, a rotacional de é dada por:
Vamos identificar e no nosso campo:

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Observamos que:
Portanto:

Passo 6

A rotacional de é zero. Além disso, o domínio considerado ( , ) é simplesmente conexo, ou seja, não há “buracos” ou singularidades no domínio onde o campo seja definido. Portanto, as condições para que seja conservativo estão satisfeitas.

Resposta

Sim, o campo é conservativo.

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