Seja F(x, y) = -y/(x^2 + y^2) * i + x/(x^2 + y^2) * j, x < 0, y < 0 :
(a) O campo F é conservativo?

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos um campo vetorial , definido para e . O objetivo é determinar se esse campo F é conservativo. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e condições necessárias para que um campo seja conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo F é conservativo se existe uma função escalar f(x, y) tal que , ou seja, F é o gradiente de f. Além disso, em domínios simplesmente conexos, um campo vetorial é conservativo se sua rotacional (ou seja, a derivada cruzada) é zero.

Passo 3

Para verificar se F é conservativo, vamos calcular a rotacional do campo. Em duas dimensões, a rotacional de é dada por:
Vamos identificar P e Q no nosso campo:

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Observamos que:
Portanto:

Passo 6

A rotacional de F é zero. Além disso, o domínio considerado ( , ) é simplesmente conexo, ou seja, não há “buracos” ou singularidades no domínio onde o campo seja definido. Portanto, as condições para que F seja conservativo estão satisfeitas.

Resposta

Sim, o campo F é conservativo.

Exercícios relacionados