Suponha que um campo de forças contínuo e que sob a ação da força , uma partícula de massa desloca-se de até sob uma trajetória descrita pela função .
a) Prove que o trabalho realizado por de até é
em que é a energia cinética.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve trabalho realizado por um campo de forças e energia cinética. A gente vai precisar usar conceitos de dinâmica e cálculo, especialmente integrais. Vamos provar que o trabalho feito pela força ao mover uma partícula de um ponto para um ponto é igual à variação da energia cinética da partícula entre esses dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é trabalho. Em física, o trabalho realizado por uma força ao deslocar uma partícula ao longo de uma trajetória é dado pela integral de linha da força ao longo do caminho:
Aqui, representa o produto escalar entre a força e o deslocamento infinitesimal .

Passo 3

Agora, vamos conectar isso com a segunda lei de Newton, que diz que a força aplicada em uma partícula com massa produz uma aceleração :
E como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever:
Ent��o, substituindo na equação da força:

Passo 4

Vamos agora substituir a expressão da força na fórmula do trabalho:
Aqui, usamos a parametrização da trajetória , onde varia de a . Sabemos que , então:
Agora, substituindo por :

Passo 5

Vamos simplificar essa integral. Observe que o produto escalar pode ser reescrito como:
Então, substituindo de volta na integral:
Essa integral é simplesmente a variação da função entre e :

Resposta

Portanto, o trabalho realizado pela força ao mover a partícula de até é:
Isso mostra que o trabalho realizado é igual à variação da energia cinética da partícula entre os momentos e .

Exercícios relacionados

Seja
c) Calcule ao longo da parábola ;
Calcule as integrais de linha
  1. e é a fronteira da região triangular com vértices e , orientada no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linha
k) onde e é uma curva que vai do ponto ao ponto ;
Seja :
(a) O campo é conservativo?