Suponha que F: D subset R^3 R^3 um campo de forças contínuo e que sob a ação da força F, uma partícula de massa m desloca-se de A até B sob uma trajetória descrita pela função r(t), t in[a, b].
a) Prove que o trabalho realizado por F de r(t0) até r(t1) é
W=12 m v(t1) cdot v(t1)-12 m v(t0) cdot v(t0)=Ec(t1)-Ec(t0)
em que Ec(t)=12 m v(t) cdot v(t) é a energia cinética.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve trabalho realizado por um campo de forças e energia cinética. A gente vai precisar usar conceitos de dinâmica e cálculo, especialmente integrais. Vamos provar que o trabalho feito pela força F ao mover uma partícula de um ponto A para um ponto B é igual à variação da energia cinética da partícula entre esses dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é trabalho. Em física, o trabalho W realizado por uma força F ao deslocar uma partícula ao longo de uma trajetória C é dado pela integral de linha da força ao longo do caminho:
W = integralC F cdot dr
Aqui, F cdot dr representa o produto escalar entre a força e o deslocamento infinitesimal dr.

Passo 3

Agora, vamos conectar isso com a segunda lei de Newton, que diz que a força F aplicada em uma partícula com massa m produz uma aceleração a:
F = m a
E como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever:
a = dvdt
Ent��o, substituindo na equação da força:
F = m dvdt

Passo 4

Vamos agora substituir a expressão da força na fórmula do trabalho:
W = integralC F cdot dr = integrala^b F cdot drdt dt
Aqui, usamos a parametrização da trajetória r(t), onde t varia de a a b. Sabemos que drdt = v, então:
W = integrala^b F cdot v , dt
Agora, substituindo F por m dvdt:
W = integrala^b m dvdt cdot v , dt

Passo 5

Vamos simplificar essa integral. Observe que o produto escalar dvdt cdot v pode ser reescrito como:
dvdt cdot v = 12 ddt (v cdot v) = 12 ddt (v^2)
Então, substituindo de volta na integral:
W = m integrala^b 12 ddt (v^2) , dt = m2 integrala^b ddt (v^2) , dt
Essa integral é simplesmente a variação da função v^2 entre t = a e t = b:
W = m2 [ v^2(b) - v^2(a) ]

Resposta

Portanto, o trabalho realizado pela força F ao mover a partícula de r(t0) até r(t1) é:
W = 12 m v(t1) cdot v(t1) - 12 m v(t0) cdot v(t0) = Ec(t1) - Ec(t0)
Isso mostra que o trabalho realizado é igual à variação da energia cinética da partícula entre os momentos t0 e t1.

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