Suponha que
um campo de forças contínuo e que sob a ação da força
, uma partícula de massa
desloca-se de
até
sob uma trajetória descrita pela função
.
a) Prove que o trabalho realizado por
de
até
é
em que
é a energia cinética.
a) Prove que o trabalho realizado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve trabalho realizado por um campo de forças e energia cinética. A gente vai precisar usar conceitos de dinâmica e cálculo, especialmente integrais. Vamos provar que o trabalho feito pela força
ao mover uma partícula de um ponto
para um ponto
é igual à variação da energia cinética da partícula entre esses dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é trabalho. Em física, o trabalho
realizado por uma força
ao deslocar uma partícula ao longo de uma trajetória
é dado pela integral de linha da força ao longo do caminho:
Aqui,
representa o produto escalar entre a força e o deslocamento infinitesimal
.
Passo 3
Agora, vamos conectar isso com a segunda lei de Newton, que diz que a força
aplicada em uma partícula com massa
produz uma aceleração
:
E como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever:
Ent��o, substituindo na equação da força:
Passo 4
Vamos agora substituir a expressão da força na fórmula do trabalho:
Aqui, usamos a parametrização da trajetória
, onde
varia de
a
. Sabemos que
, então:
Agora, substituindo
por
:
Passo 5
Vamos simplificar essa integral. Observe que o produto escalar
pode ser reescrito como:
Então, substituindo de volta na integral:
Essa integral é simplesmente a variação da função
entre
e
:
Resposta
Portanto, o trabalho realizado pela força
ao mover a partícula de
até
é:
Isso mostra que o trabalho realizado é igual à variação da energia cinética da partícula entre os momentos
e
.
Exercícios relacionados
Seja
c) Calcule ao longo da parábola
;
c) Calcule
Calcule as integrais de linha
-
e é a fronteira da região triangular com vértices e , orientada no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linha
k) onde
e
é uma curva que vai do ponto
ao ponto
;
k)
Seja
:
(a) O campo é conservativo?
(a) O campo