Calcule as integrais de linha
g) integralC F cdot d r onde F(x, y)=(x^2+y^2, 3 x y^2) e C é o círculo x^2+y^2=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar valores ao longo de um caminho específico. Aqui, temos um campo vetorial F(x, y) = (x^2 + y^2, 3xy^2) e o caminho C é um círculo com equação x^2 + y^2 = 9. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o círculo e usar a definição de integral de linha para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo C. Como a equação é x^2 + y^2 = 9, sabemos que é um círculo de raio 3 centrado na origem. Uma maneira comum de parametrizar um círculo é usar coordenadas polares. Então, vamos definir:
x(t) = 3 cos t
y(t) = 3 sin t
onde t varia de 0 a 2pi para percorrer o círculo uma vez completa.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de r(t) = (x(t), y(t)) em relação a t para obter dr. Calculando:
dxdt = -3 sin t
dydt = 3 cos t
Então,
dr = ( -3 sin t, 3 cos t ) dt

Passo 4

Em seguida, substituímos a parametrização de x(t) e y(t) na função vetorial F(x, y):
F(x(t), y(t)) = ( (3 cos t)^2 + (3 sin t)^2, 3 cdot 3 cos t cdot (3 sin t)^2 )
= ( 9 cos^2 t + 9 sin^2 t, 27 cos t sin^2 t )
= ( 9 (cos^2 t + sin^2 t), 27 cos t sin^2 t )
= ( 9 cdot 1, 27 cos t sin^2 t )
= ( 9, 27 cos t sin^2 t )
Usei a identidade trigonométrica cos^2 t + sin^2 t = 1 para simplificar.

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (9) cdot (-3 sin t) + (27 cos t sin^2 t) cdot (3 cos t)
= -27 sin t + 81 cos^2 t sin^2 t

Passo 6

Agora, a integral de linha fica:
integralC F cdot dr = integral0^2pi ( -27 sin t + 81 cos^2 t sin^2 t ) dt
Vamos separar a integral em duas partes:
= integral0^2pi (-27 sin t) dt + integral0^2pi 81 cos^2 t sin^2 t dt

Passo 7

Calculando a primeira integral:
integral0^2pi (-27 sin t) dt = -27 [ -cos t ]0^2pi = -27 ( -cos 2pi + cos 0 ) = -27 ( -1 + 1 ) = 0
Porque cos 0 = cos 2pi = 1.

Passo 8

Calculando a segunda integral:
integral0^2pi 81 cos^2 t sin^2 t dt
Podemos usar a identidade trigonométrica sin^2 t = 1 - cos 2t2 e cos^2 t = 1 + cos 2t2 para simplificar:
81 integral0^2pi ( 1 + cos 2t2 cdot 1 - cos 2t2 ) dt = 81 integral0^2pi 1 - cos^2 2t4 dt
= 814 integral0^2pi (1 - cos^2 2t) dt
= 814 [ integral0^2pi 1 dt - integral0^2pi cos^2 2t dt ]
Sabemos que integral0^2pi cos^2 2t dt = pi, então:
= 814 [ 2pi - pi ] = 814 cdot pi = 81pi4

Resposta

A integral de linha é igual a dfrac81pi4.

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