Calcule as integrais de linha
g)
onde
e
é o círculo
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar valores ao longo de um caminho específico. Aqui, temos um campo vetorial
e o caminho
é um círculo com equação
. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o círculo e usar a definição de integral de linha para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o círculo
. Como a equação é
, sabemos que é um círculo de raio
centrado na origem. Uma maneira comum de parametrizar um círculo é usar coordenadas polares. Então, vamos definir:
onde
varia de
a
para percorrer o círculo uma vez completa.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para obter
. Calculando:
Então,
Passo 4
Em seguida, substituímos a parametrização de
e
na função vetorial
:
Usei a identidade trigonométrica
para simplificar.
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, a integral de linha fica:
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 7
Calculando a primeira integral:
Porque
.
Passo 8
Calculando a segunda integral:
Podemos usar a identidade trigonométrica
e
para simplificar:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral de linha é igual a
.