Calcule as integrais de linha
g) onde e é o círculo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar valores ao longo de um caminho específico. Aqui, temos um campo vetorial e o caminho é um círculo com equação . Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o círculo e usar a definição de integral de linha para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo . Como a equação é , sabemos que é um círculo de raio centrado na origem. Uma maneira comum de parametrizar um círculo é usar coordenadas polares. Então, vamos definir:
onde varia de a para percorrer o círculo uma vez completa.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para obter . Calculando:
Então,

Passo 4

Em seguida, substituímos a parametrização de e na função vetorial :
Usei a identidade trigonométrica para simplificar.

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, a integral de linha fica:
Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 7

Calculando a primeira integral:
Porque .

Passo 8

Calculando a segunda integral:
Podemos usar a identidade trigonométrica e para simplificar:
Sabemos que , então:

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
g) .
Utilize o Teorema de Green para transformar a integral dupla
em uma integral de linha. Calcule a integral de linha.
Seja :
(b) Calcule , onde é a elipse orientada no sentido anti-horário.
Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.