Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
g) .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, também precisamos encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos precisar entender o conceito de campos conservativos e como determinar se um campo vetorial é conservativo.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo conservativo? Basicamente, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial. Isso significa que existe uma função tal que:
Onde é o gradiente da função .

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, uma das maneiras é calcular o rotacional do campo vetorial. Se o rotacional for igual a zero em todo o espaço, então o campo é conservativo. Ou seja:
Vamos calcular o rotacional de .

Passo 4

O rotacional de é dado por:
Aplicando isso ao nosso campo:
Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :
Então, o rotacional é:

Passo 5

Como o rotacional de não é o vetor nulo (ou seja, ), podemos concluir que o campo vetorial não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo, já que o rotacional de não é zero.

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