Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
g)
.
g)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, também precisamos encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos precisar entender o conceito de campos conservativos e como determinar se um campo vetorial é conservativo.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo conservativo? Basicamente, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial. Isso significa que existe uma função
tal que:
Onde
é o gradiente da função
.
Passo 3
Para verificar se o campo é conservativo, uma das maneiras é calcular o rotacional do campo vetorial. Se o rotacional for igual a zero em todo o espaço, então o campo é conservativo. Ou seja:
Vamos calcular o rotacional de
.
Passo 4
O rotacional de
é dado por:
Aplicando isso ao nosso campo:
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então, o rotacional é:
Passo 5
Como o rotacional de
não é o vetor nulo (ou seja,
), podemos concluir que o campo vetorial não é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo, já que o rotacional de
não é zero.
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Utilize o Teorema de Green para transformar a integral dupla
em uma integral de linha. Calcule a integral de linha.
Calcule
onde
é o arco constituído do segmento de reta
até
seguido do segmento de
até
usando o Teorema Green.
Calcule as integrais de linha
g) onde
e
é o círculo
g)
Seja
:
(b) Calcule , onde
é a elipse
orientada no sentido anti-horário.
(b) Calcule