Seja
:
(b) Calcule
, onde
é a elipse
orientada no sentido anti-horário.
(b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
, que é uma elipse dada por
, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele estabelece que para um campo vetorial
e uma curva fechada
que delimita uma região
, a integral de linha ao redor de
pode ser convertida em uma integral dupla sobre
da seguinte forma:
Isso significa que, em vez de calcular a integral de linha diretamente, podemos calcular a integral dupla da diferença das derivadas parciais de
em relação a
e
em relação a
sobre a região que a curva
delimita.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, calculamos a diferença das derivadas:
Isso significa que a integral dupla será:
Resposta
Portanto, a integral
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linha
g) onde
e
é o círculo
g)
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
g) .
g)
Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando
aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando
aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.