Seja :
(b) Calcule , onde é a elipse orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva , que é uma elipse dada por , orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele estabelece que para um campo vetorial e uma curva fechada que delimita uma região , a integral de linha ao redor de pode ser convertida em uma integral dupla sobre da seguinte forma:
Isso significa que, em vez de calcular a integral de linha diretamente, podemos calcular a integral dupla da diferença das derivadas parciais de em relação a e em relação a sobre a região que a curva delimita.

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, calculamos a diferença das derivadas:
Isso significa que a integral dupla será:

Resposta

Portanto, a integral é igual a 0.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais de linha
g) onde e é o círculo
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
g) .
Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.