Seja F(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j, x<0, y<0 :
(b) Calcule integralC F cdot d r, onde C é a elipse (x+3)^24+(y+2)^2=1 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral de linha do campo vetorial F(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j ao longo da curva C, que é uma elipse dada por (x+3)^24+(y+2)^2=1, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele estabelece que para um campo vetorial F = Pi + Qj e uma curva fechada C que delimita uma região D, a integral de linha ao redor de C pode ser convertida em uma integral dupla sobre D da seguinte forma:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Isso significa que, em vez de calcular a integral de linha diretamente, podemos calcular a integral dupla da diferença das derivadas parciais de Q em relação a x e P em relação a y sobre a região que a curva C delimita.

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo vetorial:
P = -yx^2 + y^2, Q = xx^2 + y^2
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = (1)(x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2
partial Ppartial y = (-1)(x^2 + y^2) - (-y)(2y)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 - y^2 + 2y^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora, calculamos a diferença das derivadas:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 - -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 = 0
Isso significa que a integral dupla será:
integral duplaD 0 , dA = 0

Resposta

Portanto, a integral integralC F cdot dr é igual a 0.

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