Utilize o Teorema de Green para transformar a integral dupla
integral-1^1 integralx^2-1^raiz1-x^2 2 d y d x
em uma integral de linha. Calcule a integral de linha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o Teorema de Green para transformar uma integral dupla em uma integral de linha e então calcular essa integral de linha. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, identificar a região de integração e depois calcular a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula básica é:
ointC (P dx + Q dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, temos uma integral dupla de 2 sobre uma região D. Precisamos encontrar funções P e Q tais que:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2

Passo 3

Vamos escolher P e Q de forma simples. Uma escolha comum é definir partial Qpartial x = 2 e partial Ppartial y = 0 e partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2 - 0 = 2 . Assim:
Portanto,
Isso satisfaz a igualdade necessária!

Passo 4

Agora, usando o Teorema de Green, a integral dupla pode ser convertida em uma integral de linha:
integral duplaD 2 , dA = ointC (0 cdot dx + 2x cdot dy) = ointC 2x , dy
Portanto, nossa integral de linha é .

Passo 5

Precisamos identificar a curva C que delimita a região D. Olhando os limites da integral dupla:
  • varia de -1 a 1.
  • Para cada , varia de a .
Isso descreve uma região que é a interseção entre o parabolóide e o círculo . Vamos visualizar essa região para entender melhor a curva C.

Passo 6

Para calcular a integral de linha , precisamos parametrizar a curva C ou identificar simetrias que possam simplificar o cálculo. Observando a simetria da região, percebemos que o termo ao integrar em torno de uma curva simétrica pode levar a simplificações, mas vamos proceder com a parametrização.

Passo 7

Vamos dividir a curva C em duas partes:
  1. Parte superior: A curva do círculo , de a .
  2. Parte inferior: A curva do parabolóide , de a .
Vamos calcular a integral em cada parte e somar os resultados.

Passo 8

Integral na parte superior (círculo):
Parametrizando integral0^pi 2cos theta cdot cos theta , dtheta = 2 integral0^pi cos^2 theta , dtheta , 2 cdot 12 integral0^pi (1 + cos 2theta) , dtheta = integral0^pi 1 , dtheta + integral0^pi cos 2theta , dtheta = pi + 0 = pi , com integral1^-1 2t cdot 2t , dt = 4 integral1^-1 t^2 , dt = 4 [ t^33 ]1^-1 = 4 ( (-1)^33 - 1^33 ) = 4 ( -13 - 13 ) = 4 ( -23 ) = -83 indo de a .
Calculando , a integral fica:
Usando a identidade :
Integral na parte inferior (parabolóide):
Parametrizando , , com indo de a .
Calculando , a integral fica:

Passo 9

Somando as integrais das duas partes:
pi + ( -83 ) = pi - 83

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados