Utilize o Teorema de Green para transformar a integral dupla
em uma integral de linha. Calcule a integral de linha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o Teorema de Green para transformar uma integral dupla em uma integral de linha e então calcular essa integral de linha. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, identificar a região de integração e depois calcular a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula básica é:
No nosso caso, temos uma integral dupla de 2 sobre uma região D. Precisamos encontrar funções P e Q tais que:

Passo 3

Vamos escolher P e Q de forma simples. Uma escolha comum é definir e . Assim:
Portanto,
Isso satisfaz a igualdade necessária!

Passo 4

Agora, usando o Teorema de Green, a integral dupla pode ser convertida em uma integral de linha:
Portanto, nossa integral de linha é .

Passo 5

Precisamos identificar a curva C que delimita a região D. Olhando os limites da integral dupla:
  • varia de -1 a 1.
  • Para cada , varia de a .
Isso descreve uma região que é a interseção entre o parabolóide e o círculo . Vamos visualizar essa região para entender melhor a curva C.

Passo 6

Para calcular a integral de linha , precisamos parametrizar a curva C ou identificar simetrias que possam simplificar o cálculo. Observando a simetria da região, percebemos que o termo ao integrar em torno de uma curva simétrica pode levar a simplificações, mas vamos proceder com a parametrização.

Passo 7

Vamos dividir a curva C em duas partes:
  1. Parte superior: A curva do círculo , de a .
  2. Parte inferior: A curva do parabolóide , de a .
Vamos calcular a integral em cada parte e somar os resultados.

Passo 8

Integral na parte superior (círculo):
Parametrizando , , com indo de a .
Calculando , a integral fica:
Usando a identidade :
Integral na parte inferior (parabolóide):
Parametrizando , , com indo de a .
Calculando , a integral fica:

Passo 9

Somando as integrais das duas partes:

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados

Calcule onde é o arco constituído do segmento de reta até seguido do segmento de até usando o Teorema Green.
Seja :
(a) O campo é conservativo?
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
g) .
Calcule as integrais de linha
g) onde e é o círculo