Utilize o Teorema de Green para transformar a integral dupla
em uma integral de linha. Calcule a integral de linha.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o Teorema de Green para transformar uma integral dupla em uma integral de linha e então calcular essa integral de linha. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, identificar a região de integração e depois calcular a integral resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula básica é:
No nosso caso, temos uma integral dupla de 2 sobre uma região D. Precisamos encontrar funções P e Q tais que:
Passo 3
Vamos escolher P e Q de forma simples. Uma escolha comum é definir
e
. Assim:
Portanto,
Isso satisfaz a igualdade necessária!
Passo 4
Agora, usando o Teorema de Green, a integral dupla pode ser convertida em uma integral de linha:
Portanto, nossa integral de linha é
.
Passo 5
Precisamos identificar a curva C que delimita a região D. Olhando os limites da integral dupla:
-
varia de -1 a 1. - Para cada
, varia de a .
Isso descreve uma região que é a interseção entre o parabolóide
e o círculo
. Vamos visualizar essa região para entender melhor a curva C.
Passo 6
Para calcular a integral de linha
, precisamos parametrizar a curva C ou identificar simetrias que possam simplificar o cálculo. Observando a simetria da região, percebemos que o termo
ao integrar em torno de uma curva simétrica pode levar a simplificações, mas vamos proceder com a parametrização.
Passo 7
Vamos dividir a curva C em duas partes:
- Parte superior: A curva do círculo
, de a . - Parte inferior: A curva do parabolóide
, de a .
Vamos calcular a integral em cada parte e somar os resultados.
Passo 8
Integral na parte superior (círculo):
Parametrizando
,
, com
indo de
a
.
Calculando
, a integral fica:
Usando a identidade
:
Integral na parte inferior (parabolóide):
Parametrizando
,
, com
indo de
a
.
Calculando
, a integral fica:
Passo 9
Somando as integrais das duas partes:
Resposta
A integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
é o arco constituído do segmento de reta
até
seguido do segmento de
até
usando o Teorema Green.
Seja
:
(a) O campo é conservativo?
(a) O campo
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
g) .
g)
Calcule as integrais de linha
g) onde
e
é o círculo
g)