Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
e)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, também devemos encontrar uma função potencial para ele. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso.

Passo 2

Um campo vetorial é conservativo se satisfizer a condição . Isso significa que as derivadas parciais devem ser iguais.

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 4

Vamos comparar as derivadas que encontramos:
Percebemos que para valores gerais de e .

Resposta

Como , o campo vetorial não é conservativo.

Exercícios relacionados

Suponha que um campo de forças contínuo e que sob a ação da força , uma partícula de massa desloca-se de até sob uma trajetória descrita pela função .
b) Se é conservativo com função potencial , verifique que o trabalho realizado por de até é
em que é a energia potencial.
Seja
d) Calcule onde é uma curva fechada de classe que envolve a origem, orientada no sentido anti-horário;
Calcule as integrais de linha
j) onde e é uma curva contida no conjunto que vai do ponto ao ponto ;
Seja
e) Calcule onde é uma curva definida por , orientada no sentido decrescente de .