Suponha que um campo de forças contínuo e que sob a ação da força , uma partícula de massa desloca-se de até sob uma trajetória descrita pela função .
b) Se é conservativo com função potencial , verifique que o trabalho realizado por de até é
em que é a energia potencial.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos um campo de força que é conservativo, ou seja, ele pode ser derivado de uma função potencial. A função potencial dada é . Queremos mostrar que o trabalho realizado por essa força ao mover uma partícula de um ponto para outro ponto é igual à diferença das energias potenciais nesses pontos, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma força ser conservativa, como calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho, e como isso se relaciona com a energia potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo de força conservativo. Uma força é dita conservativa se existir uma função escalar, chamada de energia potencial , tal que:
Aqui, representa o gradiente da energia potencial, que aponta na direção de maior aumento de . O sinal negativo indica que a força aponta na direção de menor energia potencial.

Passo 3

Agora, vamos pensar no trabalho realizado por essa força ao mover uma partícula de um ponto para um ponto ao longo de uma trajetória definida por , onde varia de a . O trabalho é dado pela integral da força ao longo do caminho:
Aqui, é um elemento infinitesimal do deslocamento ao longo do caminho.

Passo 4

Como a força é conservativa, podemos substituir pela expressão em termos do gradiente da energia potencial:
Saindo o sinal negativo:
Agora, sabemos que a integral do gradiente de uma função escalar ao longo de um caminho de a é simplesmente a diferença dos valores dessa função nos pontos finais. Ou seja:
Substituindo de volta na expressão do trabalho:

Resposta

O trabalho realizado por de até é

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Seja
d) Calcule onde é uma curva fechada de classe que envolve a origem, orientada no sentido anti-horário;
Determine a area da região limitada por . (Dica: Teorema de Green).
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
e)
Calcule as integrais de linha
j) onde e é uma curva contida no conjunto que vai do ponto ao ponto ;