Suponha que F : D ⊆ R^3 → R^3 um campo de forças contínuo e que sob a ação da força F, uma partícula de massa m desloca-se de A até B sob uma trajetória descrita pela função r(t), t em [a, b].
b) Se F é conservativo com função potencial -Ep: D -> R, verifique que o trabalho realizado por F de r(t0) até r(t1) é
W = Ep(r(t0)) - Ep(r(t1))
em que Ep(t) é a energia potencial.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos um campo de força F que é conservativo, ou seja, ele pode ser derivado de uma função potencial. A função potencial dada é . Queremos mostrar que o trabalho realizado por essa força ao mover uma partícula de um ponto para outro ponto é igual à diferença das energias potenciais nesses pontos, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma força ser conservativa, como calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho, e como isso se relaciona com a energia potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo de força conservativo. Uma força F é dita conservativa se existir uma função escalar, chamada de energia potencial , tal que:
Aqui, representa o gradiente da energia potencial, que aponta na direção de maior aumento de . O sinal negativo indica que a força aponta na direção de menor energia potencial.

Passo 3

Agora, vamos pensar no trabalho realizado por essa força ao mover uma partícula de um ponto A para um ponto B ao longo de uma trajetória definida por r(t), onde t varia de a . O trabalho W é dado pela integral da força ao longo do caminho:
Aqui, é um elemento infinitesimal do deslocamento ao longo do caminho.

Passo 4

Como a força F é conservativa, podemos substituir F pela expressão em termos do gradiente da energia potencial:
Saindo o sinal negativo:
Agora, sabemos que a integral do gradiente de uma função escalar ao longo de um caminho de A a B é simplesmente a diferença dos valores dessa função nos pontos finais. Ou seja:
Substituindo de volta na expressão do trabalho:

Resposta

O trabalho realizado por F de até é

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