Suponha que
um campo de forças contínuo e que sob a ação da força
, uma partícula de massa
desloca-se de
até
sob uma trajetória descrita pela função
.
b) Se
é conservativo com função potencial
, verifique que o trabalho realizado por
de
até
é
em que
é a energia potencial.
b) Se
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos um campo de força
que é conservativo, ou seja, ele pode ser derivado de uma função potencial. A função potencial dada é
. Queremos mostrar que o trabalho realizado por essa força ao mover uma partícula de um ponto
para outro ponto
é igual à diferença das energias potenciais nesses pontos, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma força ser conservativa, como calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho, e como isso se relaciona com a energia potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um campo de força conservativo. Uma força
é dita conservativa se existir uma função escalar, chamada de energia potencial
, tal que:
Aqui,
representa o gradiente da energia potencial, que aponta na direção de maior aumento de
. O sinal negativo indica que a força aponta na direção de menor energia potencial.
Passo 3
Agora, vamos pensar no trabalho realizado por essa força ao mover uma partícula de um ponto
para um ponto
ao longo de uma trajetória definida por
, onde
varia de
a
. O trabalho
é dado pela integral da força ao longo do caminho:
Aqui,
é um elemento infinitesimal do deslocamento ao longo do caminho.
Passo 4
Como a força
é conservativa, podemos substituir
pela expressão em termos do gradiente da energia potencial:
Saindo o sinal negativo:
Agora, sabemos que a integral do gradiente de uma função escalar ao longo de um caminho de
a
é simplesmente a diferença dos valores dessa função nos pontos finais. Ou seja:
Substituindo de volta na expressão do trabalho:
Resposta
O trabalho realizado por
de
até
é
Exercícios relacionados
Seja
d) Calcule onde
é uma curva fechada de classe
que envolve a origem, orientada no sentido anti-horário;
d) Calcule
Determine a area da região limitada por
. (Dica: Teorema de Green).
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
e)
e)
Calcule as integrais de linha
j) onde
e
é uma curva contida no conjunto
que vai do ponto
ao ponto
;
j)