Calcule as integrais de linha: , onde é dada por , .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha: . O enunciado nos dá a curva parametrizada por para . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa . Ele representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva . Para calcular , usamos a derivada da parametrização .

Passo 3

Vamos derivar em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos a magnitude de , que nos dá :

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então,

Passo 6

Agora, voltamos à integral original. Sabemos que . Além disso, na parametrização dada é:

Passo 7

Substituindo tudo na integral:

Passo 8

Calculando a integral:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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