Calcule as integrais de linha: integralC(x+y) d s, onde C é dada por r(t)=(1-cos t) i+(1+cos t) j+raiz2 sen t k, com t in[0,2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha: . O enunciado nos dá a curva parametrizada por para . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa . Ele representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva . Para calcular , usamos a derivada da parametrização .

Passo 3

Vamos derivar r,'(t) = ddt[(1 - cos t)i + (1 + cos t)j + raiz2sin t k] = sin t i - sin t j + raiz2cos t k em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos a magnitude de |r,'(t)| = raiz(sin t)^2 + (-sin t)^2 + (raiz2cos t)^2 = raizsin^2 t + sin^2 t + 2cos^2 t = raiz2sin^2 t + 2cos^2 t , que nos dá :

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
2sin^2 t + 2cos^2 t = 2(sin^2 t + cos^2 t) = 2(1) = 2
Então,
|r,'(t)| = raiz2

Passo 6

Agora, voltamos à integral original. Sabemos que x + y = (1 - cos t) + (1 + cos t) = 2 . Além disso, na parametrização dada é:

Passo 7

Substituindo tudo na integral:
integralC(x+y) , ds = integral0^2pi 2 cdot raiz2 , dt = 2raiz2 integral0^2pi dt

Passo 8

Calculando a integral:
2raiz2 integral0^2pi dt = 2raiz2 cdot (2pi) = 4piraiz2

Resposta

A integral de linha é igual a .

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