Calcule as integrais de linha:
, onde
é dada por
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha:
. O enunciado nos dá a curva
parametrizada por
para
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa
. Ele representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva
. Para calcular
, usamos a derivada da parametrização
.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Agora, calculamos a magnitude de
, que nos dá
:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então,
Passo 6
Agora, voltamos à integral original. Sabemos que
. Além disso,
na parametrização dada é:
Passo 7
Substituindo tudo na integral:
Passo 8
Calculando a integral:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
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