Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial de primeira ordem: . Vamos usar a definição de diferencial e o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, lembremos que representa a derivada de em relação a . Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 3

A equação que temos é:
Integrando ambos os lados:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 4

Vamos simplificar a integral. Sabemos que pode ser escrito como . Assim, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos a regra de potência para integrais, que diz que:
Aqui, e .

Passo 6

Aplicando a regra de potência:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Calcule as integrais de linha: , onde é a intersecção das superfícies e .
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
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.
Calcule , onde e é dado por , .