Calcule , ao longo da linha poligonal , onde , e é a origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha ao longo da linha poligonal , onde os pontos são , (origem) e . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha, que envolvem parametrizar o caminho e integrar cada parte passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho . Ele é dividido em duas partes: de até e de até . Vamos chamar essas partes de e , respectivamente. A integral total será a soma das integrais sobre e .
Passo 3
Vamos parametrizar o caminho de a . Como é e é , o movimento ocorre apenas no eixo . Podemos usar de 0 a 1 para representar esse percurso:
Derivando em relação a :
Agora, substituímos na integral:
Portanto, a integral sobre �� zero.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar o caminho x(t) = 2t y(t) = 2 z(t) = 4t de dx = 2 , dt dy = 0 dz = 4 , dt a integralC2 (2x , dx + y z , dy + 3 z , dz) = integral0^1 [2(2t)(2) + (2)(4t)(0) + 3(4t)(4)] dt . Os pontos são integral0^1 (8t + 0 + 48t) dt = integral0^1 56t , dt = 56 [t^22]0^1 = 56 (12) = 28 e . Notamos que permanece constante em 2, enquanto vai de 0 a 2 e de 0 a 4. Podemos usar de 0 a 1:
Derivando em relação a :
Substituindo na integral:
Simplificando:
Então, a integral sobre é 28.
Resposta
A integral de linha ao longo da linha poligonal é igual a 28.