Calcule integralC(2 x d x+y z d y+3 z d z), ao longo da linha poligonal A O B, onde A(0,2,0), B(2,2,4) e O é a origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha ao longo da linha poligonal , onde os pontos são , (origem) e . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha, que envolvem parametrizar o caminho e integrar cada parte passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho . Ele é dividido em duas partes: de até e de até . Vamos chamar essas partes de e , respectivamente. A integral total será a soma das integrais sobre e .

Passo 3

Vamos parametrizar o caminho x(t) = 0 y(t) = 2t z(t) = 0 de dx = 0 dy = 2 , dt dz = 0 a integralC1 (2x , dx + y z , dy + 3 z , dz) = integral0^1 (2(0)(0) + (2t)(0)(2) + 3(0)(0)) dt = 0 . Como é e é , o movimento ocorre apenas no eixo . Podemos usar de 0 a 1 para representar esse percurso:
Derivando em relação a :
Agora, substituímos na integral:
Portanto, a integral sobre �� zero.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar o caminho x(t) = 2t y(t) = 2 z(t) = 4t de dx = 2 , dt dy = 0 dz = 4 , dt a integralC2 (2x , dx + y z , dy + 3 z , dz) = integral0^1 [2(2t)(2) + (2)(4t)(0) + 3(4t)(4)] dt . Os pontos são integral0^1 (8t + 0 + 48t) dt = integral0^1 56t , dt = 56 [t^22]0^1 = 56 (12) = 28 e . Notamos que permanece constante em 2, enquanto vai de 0 a 2 e de 0 a 4. Podemos usar de 0 a 1:
Derivando em relação a :
Substituindo na integral:
Simplificando:
Então, a integral sobre é 28.

Resposta

A integral de linha ao longo da linha poligonal é igual a 28.

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