Calcule , ao longo da linha poligonal , onde , e é a origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha ao longo da linha poligonal , onde os pontos são , (origem) e . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha, que envolvem parametrizar o caminho e integrar cada parte passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho . Ele é dividido em duas partes: de até e de até . Vamos chamar essas partes de e , respectivamente. A integral total será a soma das integrais sobre e .

Passo 3

Vamos parametrizar o caminho de a . Como é e é , o movimento ocorre apenas no eixo . Podemos usar de 0 a 1 para representar esse percurso:
Derivando em relação a :
Agora, substituímos na integral:
Portanto, a integral sobre �� zero.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar o caminho de a . Os pontos são e . Notamos que permanece constante em 2, enquanto vai de 0 a 2 e de 0 a 4. Podemos usar de 0 a 1:
Derivando em relação a :
Substituindo na integral:
Simplificando:
Então, a integral sobre é 28.

Resposta

A integral de linha ao longo da linha poligonal é igual a 28.

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