Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolvem derivadas de uma função desconhecida. Para resolver isso, vamos usar a definição de diferencial e o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para integrais indefinidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação nos diz. significa que a derivada de
em relação a
é igual a . Para encontrar
, precisamos “desfazer” a derivada, ou seja, integrar em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral de
em relação a
nos dá simplesmente
, pois a integral e a derivada são operações inversas.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral de . Sabemos que:
onde
é a constante de integração, que aparece porque estamos lidando com uma integral indefinida.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.