Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolvem derivadas de uma função desconhecida. Para resolver isso, vamos usar a definição de diferencial e o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para integrais indefinidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação nos diz. significa que a derivada de
em relação a
é igual a . Para encontrar
, precisamos “desfazer” a derivada, ou seja, integrar em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral de
em relação a
nos dá simplesmente
, pois a integral e a derivada são operações inversas.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral de . Sabemos que:
onde
é a constante de integração, que aparece porque estamos lidando com uma integral indefinida.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Calcule
, ao longo da linha poligonal
, onde
,
e
é a origem.
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;
Calcule as integrais de linha:
, onde
é a hélice circular dada por
, do ponto
até
.
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;