Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolvem derivadas de uma função desconhecida. Para resolver isso, vamos usar a definição de diferencial e o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para integrais indefinidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação nos diz. significa que a derivada de em relação a é igual a . Para encontrar , precisamos “desfazer” a derivada, ou seja, integrar em relação a .

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral de em relação a nos dá simplesmente , pois a integral e a derivada são operações inversas.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de . Sabemos que:
onde é a constante de integração, que aparece porque estamos lidando com uma integral indefinida.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Calcule , ao longo da linha poligonal , onde , e é a origem.
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;
Calcule as integrais de linha: , onde é a hélice circular dada por , do ponto até .
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;