Calcule as integrais de linha:
, onde
é o círculo de centro
e raio 1 .
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha
, onde
é o círculo de centro
e raio 1. Para isso, vamos utilizar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha. Precisaremos parametrizar o círculo e substituir as expressões de
,
e
na integral para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o círculo
. Um círculo de raio 1 centrado na origem pode ser descrito pelas equações:
onde
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a expressão para
, que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. Como
e , derivando em relação a
temos:
Assim,
é dado por:
Passo 4
Substituindo as parametrizações na integral original, temos:
Vamos dividir essa integral em duas partes:
A primeira integral pode ser simplificada usando a identidade :
A segunda integral é direta:
Resposta
O valor da integral de linha
é
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de um exemplo de una função
que todas as condições dadas:
Calcule a integral de linha
onde
é o campo dado por
e
é a curva dada por
. O campo
é conservativo?
Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular
, onde
é a curva indicada:
; onde
é arco da hiperbóle
de
.
Considere a funçāo
.
(a) Calcule c
(a) Calcule