Calcule as integrais de linha: integralC x y+1 d s, onde C é o círculo de centro (0,0) e raio 1 .

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha , onde é o círculo de centro e raio 1. Para isso, vamos utilizar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha. Precisaremos parametrizar o círculo e substituir as expressões de , e na integral para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo x = cos t . Um círculo de raio 1 centrado na origem pode ser descrito pelas equações:
y = sen t
onde varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para dxdt = -sen t , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. Como dydt = cos t e , derivando em relação a ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz(-sen t)^2 + (cos t)^2 , dt = raizsen^2 t + cos^2 t , dt = raiz1 , dt = dt temos:
Assim, é dado por:

Passo 4

Substituindo as parametrizações na integral original, temos:
Vamos dividir essa integral em duas partes:
A primeira integral pode ser simplificada usando a identidade :
A segunda integral é direta:
integralC (x y + 1) , ds = integral0^2pi ( cos t cdot sen t + 1 ) dt

Resposta

O valor da integral de linha é .

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