Calcule as integrais de linha: , onde é o círculo de centro e raio 1 .

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha , onde é o círculo de centro e raio 1. Para isso, vamos utilizar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha. Precisaremos parametrizar o círculo e substituir as expressões de , e na integral para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo . Um círculo de raio 1 centrado na origem pode ser descrito pelas equações:
onde varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. Como e , derivando em relação a temos:
Assim, é dado por:

Passo 4

Substituindo as parametrizações na integral original, temos:
Vamos dividir essa integral em duas partes:
A primeira integral pode ser simplificada usando a identidade :
A segunda integral é direta:

Resposta

O valor da integral de linha é .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de um exemplo de una função que todas as condições dadas:
não está definida; tem uma assíntota ta horizontal em .
í
Calcule a integral de linha onde é o campo dado por
e é a curva dada por . O campo é conservativo?
Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular , onde é a curva indicada: ; onde é arco da hiperbóle de .
Considere a funçāo .
(a) Calcule c