Esboce o gráfico de um exemplo de una função que todas as condições dadas:
não está definida; tem uma assíntota ta horizontal em .
í

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico de uma função que atende a várias condições específicas de limites, valores definidos e indefinidos em certos pontos, além de ter assíntotas horizontais e verticais. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar conceitos de limites, continuidade, assíntotas horizontais e verticais, e como esses elementos influenciam o comportamento do gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para cada uma das condições de limite e entender o que elas significam:
  1. : Isso significa que, quando se aproxima de 0 pela esquerda, o valor de se aproxima de 1.
  2. : Quando se aproxima de 1 pela direita, tende a -1.
  3. : Quando se aproxima de 2 pela esquerda, tende a 0.
  4. : Quando se aproxima de 2 pela direita, tende a 1.
  5. : O valor da função em é 1.
  6. não está definida: A função não tem valor definido em .
  7. tem uma assíntota horizontal em : Conforme vai para , se aproxima de 2.
  8. tem uma assíntota vertical em : Conforme se aproxima de -1, tende para .

Passo 3

Vamos agora começar a desenhar o gráfico. Primeiro, marcaremos os pontos críticos e comportamentos limítrofes:
  • Em : A função não está definida, mas ao se aproximar de 0 pela esquerda, tende a 1.
  • Em : Ao se aproximar de 1 pela direita, tende a -1.
  • Em : A função está definida e vale 1, mas ao se aproximar de 2 pela esquerda, tende a 0, e pela direita, tende a 1.
  • Assíntota horizontal em : Isso indica que, para valores muito grandes positivos ou negativos de , se aproxima de 2.
  • Assíntota vertical em : Indica que, próximo a , cresce sem limites, podendo ir para ou .

Passo 4

Vamos conectar esses pontos e comportamentos:
  • Para : Devido à assíntota vertical em , conforme se aproxima de -1 pela esquerda, tende a 2 (já que a assíntota horizontal é ).
  • Entre e : A função deve descer de e se aproximar de 1 conforme se aproxima de 0 pela esquerda.
  • Entre e : Como não está definida, o gráfico pode ter uma lacuna em . A função pode continuar de 1 e descer até atingir o valor próximo a -1 conforme se aproxima de pela direita.
  • Entre e : A função está definida em e deve se comportar de forma a atingir 0 quando se aproxima de 2 pela esquerda e 1 à direita. Possivelmente, haverá um salto em .
  • Para : A função se aproxima de 2 conforme cresce, devido à assíntota horizontal.

Passo 5

Vamos resumir os comportamentos:
  • Assíntota vertical em : O gráfico se aproxima verticalmente de .
  • Assíntota horizontal em : O gráfico se estabiliza próximo a para muito grandes ou muito pequenos.
  • Lacuna em : O ponto não pertence ao domínio da função.
  • Ponto definido em : A função realmente passa por , mas ao se aproximar de 2 pela esquerda, vem de 0.

Resposta

Então, o esboço do gráfico da função terá:
  • Uma assíntota vertical em , onde o gráfico sobe ou desce infinitamente.
  • Uma assíntota horizontal em , indicando que, para indo para , se aproxima de 2.
  • Uma lacuna no ponto , onde a função não está definida, mas se aproxima de 1 pela esquerda.
  • Um salto em , onde , mas se aproxima de 0 pela esquerda e de 1 pela direita.
  • Comportamentos específicos ao redor de , onde a função se aproxima de -1 pela direita.
Com esses elementos, você consegue desenhar um esboço que atende a todas as condições do enunciado!

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