Esboce o gráfico de um exemplo de una função
que todas as condições dadas:
não está definida;
tem uma assíntota ta horizontal em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico de uma função
que atende a várias condições específicas de limites, valores definidos e indefinidos em certos pontos, além de ter assíntotas horizontais e verticais. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar conceitos de limites, continuidade, assíntotas horizontais e verticais, e como esses elementos influenciam o comportamento do gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para cada uma das condições de limite e entender o que elas significam:
-
: Isso significa que, quando se aproxima de 0 pela esquerda, o valor de se aproxima de 1. -
: Quando se aproxima de 1 pela direita, tende a -1. -
: Quando se aproxima de 2 pela esquerda, tende a 0. -
: Quando se aproxima de 2 pela direita, tende a 1. -
: O valor da função em é 1. -
não está definida: A função não tem valor definido em . -
tem uma assíntota horizontal em : Conforme vai para , se aproxima de 2. -
tem uma assíntota vertical em : Conforme se aproxima de -1, tende para .
Passo 3
Vamos agora começar a desenhar o gráfico. Primeiro, marcaremos os pontos críticos e comportamentos limítrofes:
- Em
: A função não está definida, mas ao se aproximar de 0 pela esquerda, tende a 1. - Em
: Ao se aproximar de 1 pela direita, tende a -1. - Em
: A função está definida e vale 1, mas ao se aproximar de 2 pela esquerda, tende a 0, e pela direita, tende a 1. - Assíntota horizontal em
: Isso indica que, para valores muito grandes positivos ou negativos de , se aproxima de 2. - Assíntota vertical em
: Indica que, próximo a , cresce sem limites, podendo ir para ou .
Passo 4
Vamos conectar esses pontos e comportamentos:
-
Para
: Devido à assíntota vertical em , conforme se aproxima de -1 pela esquerda, tende a 2 (já que a assíntota horizontal é ). -
Entre
e : A função deve descer de e se aproximar de 1 conforme se aproxima de 0 pela esquerda. -
Entre
e : Como não está definida, o gráfico pode ter uma lacuna em . A função pode continuar de 1 e descer até atingir o valor próximo a -1 conforme se aproxima de pela direita. -
Entre
e : A função está definida em e deve se comportar de forma a atingir 0 quando se aproxima de 2 pela esquerda e 1 à direita. Possivelmente, haverá um salto em . -
Para
: A função se aproxima de 2 conforme cresce, devido à assíntota horizontal.
Passo 5
Vamos resumir os comportamentos:
- Assíntota vertical em
: O gráfico se aproxima verticalmente de . - Assíntota horizontal em
: O gráfico se estabiliza próximo a para muito grandes ou muito pequenos. - Lacuna em
: O ponto não pertence ao domínio da função. - Ponto definido em
: A função realmente passa por , mas ao se aproximar de 2 pela esquerda, vem de 0.
Resposta
Então, o esboço do gráfico da função
terá:
- Uma assíntota vertical em
, onde o gráfico sobe ou desce infinitamente. - Uma assíntota horizontal em
, indicando que, para indo para , se aproxima de 2. - Uma lacuna no ponto
, onde a função não está definida, mas se aproxima de 1 pela esquerda. - Um salto em
, onde , mas se aproxima de 0 pela esquerda e de 1 pela direita. - Comportamentos específicos ao redor de
, onde a função se aproxima de -1 pela direita.
Com esses elementos, você consegue desenhar um esboço que atende a todas as condições do enunciado!
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Calcule a integral de linha
onde
é o campo dado por
e
é a curva dada por
. O campo
é conservativo?
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Calcule as integrais de linha:
, onde
é o círculo de centro
e raio 1 .
Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular
, onde
é a curva indicada:
; onde
é arco da hiperbóle
de
.