Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular integralC F d r, onde C é a curva indicada: F(x, y)=(2 x+1) i+(2 y+3) j; onde C é arco da hiperbóle x^2-y^2=1 de (1,0)(2, raiz3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um campo vetorial e uma curva que é um arco da hipérbole indo de até . Nosso objetivo é mostrar que esse campo vetorial é conservativo, encontrar uma função potencial para ele e, usando essa função, calcular a integral de linha . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, funções potenciais e o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que o campo vetorial partial F1partial y = partial (2x + 1)partial y = 0 é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar partial F2partial x = partial (2y + 3)partial x = 0 tal que . Em duas dimensões, isso significa que as derivadas parciais devem satisfazer a condição .
Vamos calcular essas derivadas para :
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que F = nabla f Rightarrow F1 = partial fpartial x, F2 = partial fpartial y é conservativo, vamos encontrar a função potencial f(x, y) = integral (2x + 1) , dx = x^2 + x + g(y) . Sabemos que:
partial fpartial y = d g(y)partial y = 2y + 3
Vamos integrar g(y) = integral (2y + 3) , dy = y^2 + 3y + C em relação a f(x, y) = x^2 + x + y^2 + 3y para encontrar :
Aqui, é uma função de que aparece como constante de integração. Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Integrando isso em relação a :
Onde é uma constante. Podemos ignorar pois estamos interessados na função potencial até uma constante.
Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Com a função potencial em mãos, vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que diz que para um campo conservativo integralC F cdot dr = f(B) - f(A) e uma curva que vai de um ponto até um ponto :
Aqui, os pontos e são e , respectivamente. Vamos calcular nesses pontos.

Passo 5

Vamos calcular f(2, raiz3) = (2)^2 + 2 + (raiz3)^2 + 3raiz3 = 4 + 2 + 3 + 3raiz3 = 9 + 3raiz3 e f(1, 0) = (1)^2 + 1 + (0)^2 + 3(0) = 1 + 1 + 0 + 0 = 2 :
integralC F cdot dr = f(2, raiz3) - f(1, 0) = (9 + 3raiz3) - 2 = 7 + 3raiz3
Agora, aplicando o Teorema Fundamental:

Resposta

integralC F cdot dr = 7 + 3raiz3

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