Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular
, onde
é a curva indicada:
; onde
é arco da hiperbóle
de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um campo vetorial
e uma curva
que é um arco da hipérbole
indo de
até
. Nosso objetivo é mostrar que esse campo vetorial é conservativo, encontrar uma função potencial para ele e, usando essa função, calcular a integral de linha
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, funções potenciais e o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar
tal que
. Em duas dimensões, isso significa que as derivadas parciais devem satisfazer a condição
.
Vamos calcular essas derivadas para
:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de
que aparece como constante de integração. Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Integrando isso em relação a
:
Onde
é uma constante. Podemos ignorar
pois estamos interessados na função potencial até uma constante.
Portanto, a função potencial é:
Passo 4
Com a função potencial em mãos, vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que diz que para um campo conservativo
e uma curva
que vai de um ponto
até um ponto
:
Aqui, os pontos
e
são
e
, respectivamente. Vamos calcular
nesses pontos.
Passo 5
Vamos calcular
e
:
Agora, aplicando o Teorema Fundamental:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linha:
, onde
é o círculo de centro
e raio 1 .
Esboce o gráfico de um exemplo de una função
que todas as condições dadas:
Considere a funçāo
.
(a) Calcule c
(a) Calcule
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: