Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular , onde é a curva indicada: ; onde é arco da hiperbóle de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um campo vetorial e uma curva que é um arco da hipérbole indo de até . Nosso objetivo é mostrar que esse campo vetorial é conservativo, encontrar uma função potencial para ele e, usando essa função, calcular a integral de linha . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, funções potenciais e o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que . Em duas dimensões, isso significa que as derivadas parciais devem satisfazer a condição .
Vamos calcular essas derivadas para :
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função de que aparece como constante de integração. Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Integrando isso em relação a :
Onde é uma constante. Podemos ignorar pois estamos interessados na função potencial até uma constante.
Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Com a função potencial em mãos, vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que diz que para um campo conservativo e uma curva que vai de um ponto até um ponto :
Aqui, os pontos e são e , respectivamente. Vamos calcular nesses pontos.

Passo 5

Vamos calcular e :
Agora, aplicando o Teorema Fundamental:

Resposta

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Calcule as integrais de linha: , onde é o círculo de centro e raio 1 .
Esboce o gráfico de um exemplo de una função que todas as condições dadas:
não está definida; tem uma assíntota ta horizontal em .
í
Considere a funçāo .
(a) Calcule c
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: