Calcule a integral de linha integralC F d r onde F é o campo dado por
F(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j
e C é a curva dada por r(t)=(cos t, sen t), t in[0,2 pi]. O campo F é conservativo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva . Além disso, vamos verificar se o campo é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e propriedades de campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva r(t) = (cos t, sen t), t in [0, 2pi] . Ela está definida por:
Isso significa que é o círculo unitário no plano , percorrido uma vez no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, vamos expressar o campo vetorial F(x, y) = -yx^2 + y^2 i + xx^2 + y^2 j na forma dada:
Esse campo parece estar relacionado com a rotação ao redor da origem.

Passo 4

Para calcular a integral de linha F(r(t)) = -sen tcos^2 t + sen^2 t i + cos tcos^2 t + sen^2 t j , precisamos parametrizar F(r(t)) = -sen t , i + cos t , j ao longo da curva . Substituindo em :
Sabemos que , então simplificando:

Passo 5

Vamos encontrar a derivada de drdt = ddt (cos t, sen t) = (-sen t, cos t) em relação a drdt = -sen t , i + cos t , j :
Ou seja:

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot drdt = (-sen t)(-sen t) + (cos t)(cos t) = sen^2 t + cos^2 t = 1 :

Passo 7

Por fim, integramos o resultado de integral0^2pi 1 , dt = 2pi de a :

Passo 8

Agora, vamos verificar se o campo rot F = partialpartial x ( xx^2 + y^2 ) - partialpartial y ( -yx^2 + y^2 ) é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que . Além disso, em um domínio simplesmente conexo, um campo conservativo deve ter rotacional zero.
Calculando o rotacional de :
Após calcular as derivadas parciais, veremos que o rotacional não é zero devido à singularidade na origem ( ). Isso indica que não é conservativo no domínio que inclui a origem.

Resposta

A integral de linha é e o campo não é conservativo.

Exercícios relacionados