Calcule a integral de linha
onde
é o campo dado por
e
é a curva dada por
. O campo
é conservativo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial
sobre uma curva
. Além disso, vamos verificar se o campo
é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e propriedades de campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela está definida por:
Isso significa que
é o círculo unitário no plano
, percorrido uma vez no sentido anti-horário.
Passo 3
Agora, vamos expressar o campo vetorial
na forma dada:
Esse campo parece estar relacionado com a rotação ao redor da origem.
Passo 4
Para calcular a integral de linha
, precisamos parametrizar
ao longo da curva
. Substituindo em
:
Sabemos que , então simplificando:
Passo 5
Vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Ou seja:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Por fim, integramos o resultado de
de
a
:
Passo 8
Agora, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Além disso, em um domínio simplesmente conexo, um campo conservativo deve ter rotacional zero.
Calculando o rotacional de
:
Após calcular as derivadas parciais, veremos que o rotacional não é zero devido à singularidade na origem (
). Isso indica que
não é conservativo no domínio que inclui a origem.
Resposta
A integral de linha é
e o campo
não é conservativo.
Exercícios relacionados
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Considere a funçāo
.
(b) A função é contínua no intervalo fechado
?(Justifique)
(b) A função
Esboce o gráfico de um exemplo de una função
que todas as condições dadas:
Calcule as integrais de linha:
, onde
é o círculo de centro
e raio 1 .