Calcule a integral de linha onde é o campo dado por
e é a curva dada por . O campo é conservativo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva . Além disso, vamos verificar se o campo é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e propriedades de campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela está definida por:
Isso significa que é o círculo unitário no plano , percorrido uma vez no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, vamos expressar o campo vetorial na forma dada:
Esse campo parece estar relacionado com a rotação ao redor da origem.

Passo 4

Para calcular a integral de linha , precisamos parametrizar ao longo da curva . Substituindo em :
Sabemos que , então simplificando:

Passo 5

Vamos encontrar a derivada de em relação a :
Ou seja:

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 7

Por fim, integramos o resultado de de a :

Passo 8

Agora, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que . Além disso, em um domínio simplesmente conexo, um campo conservativo deve ter rotacional zero.
Calculando o rotacional de :
Após calcular as derivadas parciais, veremos que o rotacional não é zero devido à singularidade na origem ( ). Isso indica que não é conservativo no domínio que inclui a origem.

Resposta

A integral de linha é e o campo não é conservativo.

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Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Considere a funçāo .
(b) A função é contínua no intervalo fechado ?(Justifique)
Esboce o gráfico de um exemplo de una função que todas as condições dadas:
não está definida; tem uma assíntota ta horizontal em .
í
Calcule as integrais de linha: , onde é o círculo de centro e raio 1 .