Calcule as integrais de linha onde
é a curva dada:
(b)
, onde
, para
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
, onde a curva
é definida por
e , para
variando de
a
. Vamos usar a parametrização da curva e calcular o elemento de comprimento para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
e
em termos de
:
Isso facilita substituir na integral depois.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento
. A fórmula para
em termos de
é:
Vamos derivar
e
:
Substituindo na fórmula de
:
Legal,
simplificou para
!
Passo 4
Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja , então:
Substituindo na integral:
Resposta
O valor da integral é
.