Calcule as integrais de linha onde C é a curva dada:
(b) integralC x y^2 d s, onde C: x=cos t, y=sen t, para t in[0, pi2];

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha integralC x y^2 , d s, onde a curva C é definida por x = cos t e , para y = sen t variando de t a 0. Vamos usar a parametrização da curva e calcular o elemento de comprimento para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar x e y em termos de t:
Isso facilita substituir na integral depois.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento d s. A fórmula para d s em termos de t é:
d s = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Vamos derivar x(t) e y(t):
Substituindo na fórmula de dxdt = -sen t dydt = cos t :
Legal, d s simplificou para d s = raiz(-sen t)^2 + (cos t)^2 , dt = raizsen^2 t + cos^2 t , dt = raiz1 , dt = dt !

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja , então:
u = sen t
Substituindo na integral:
du = cos t , dt

Resposta

O valor da integral é 13.

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