Calcule as integrais de linha onde C é a curva dada:
© integralC(x y+3 x) d x, onde C é o segmento de reta de (-1,0) até (2,3);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O que a gente tem aqui é uma integral do tipo integralC(x y + 3x) , dx, onde C é um trecho de reta que vai do ponto (-1, 0) até o ponto (2, 3). Vamos usar cálculo de integrais de linha, que basicamente nos ajuda a somar valores ao longo de uma curva. Para isso, vamos precisar parametrizar a reta, ou seja, expressar x e y em função de um parâmetro que varia de um ponto ao outro.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta C. Como C é um segmento de reta de (-1, 0) a (2, 3), podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1. A fórmula para parametrizar uma reta entre dois pontos (x0, y0) e (x1, y1) é:
x(t) = x0 + (x1 - x0)t
y(t) = y0 + (y1 - y0)t
Aplicando isso aos nossos pontos:
x(t) = -1 + (2 - (-1))t = -1 + 3t
y(t) = 0 + (3 - 0)t = 3t
Então, temos:
x(t) = -1 + 3t
y(t) = 3t

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx. Como x(t) = -1 + 3t, derivando em relação a t:
dx = dxdt dt = 3 dt

Passo 4

Substituímos tudo na integral original. A integral fica em termos de t de 0 a 1:
integralC(x y + 3x) dx = integral0^1 [x(t) cdot y(t) + 3x(t)] cdot dx(t)
Substituindo as expressões que encontramos:
= integral0^1 [(-1 + 3t)(3t) + 3(-1 + 3t)] cdot 3 dt

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, multiplicamos (-1 + 3t)(3t):
(-1)(3t) + (3t)(3t) = -3t + 9t^2
Depois, multiplicamos 3(-1 + 3t):
-3 + 9t
Somando tudo dentro do colchete:
-3t + 9t^2 -3 + 9t = 9t^2 + 6t -3
Então, a integral fica:
integral0^1 (9t^2 + 6t -3) cdot 3 dt = 3 integral0^1 (9t^2 + 6t -3) dt

Passo 6

Agora, multiplicamos o 3 dentro da integral:
3 integral0^1 9t^2 + 6t -3 , dt = integral0^1 27t^2 + 18t -9 , dt

Passo 7

Integrando termo a termo:
integral 27t^2 , dt = 27 cdot t^33 = 9t^3
integral 18t , dt = 18 cdot t^22 = 9t^2
integral -9 , dt = -9t
Então, a antiderivada é:
9t^3 + 9t^2 -9t

Passo 8

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
[9(1)^3 + 9(1)^2 -9(1)] - [9(0)^3 + 9(0)^2 -9(0)] = (9 + 9 -9) - (0 + 0 -0) = 9

Resposta

A integral de linha vale 9.

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