Calcule as integrais de linha onde
é a curva dada:
©
, onde
é o segmento de reta de
até
;
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O que a gente tem aqui é uma integral do tipo
, onde
é um trecho de reta que vai do ponto
até o ponto
. Vamos usar cálculo de integrais de linha, que basicamente nos ajuda a somar valores ao longo de uma curva. Para isso, vamos precisar parametrizar a reta, ou seja, expressar
e
em função de um parâmetro que varia de um ponto ao outro.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta
. Como
é um segmento de reta de
a
, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1. A fórmula para parametrizar uma reta entre dois pontos
e
é:
Aplicando isso aos nossos pontos:
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
. Como
, derivando em relação a
:
Passo 4
Substituímos tudo na integral original. A integral fica em termos de
de 0 a 1:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, multiplicamos
:
Depois, multiplicamos
:
Somando tudo dentro do colchete:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, multiplicamos o 3 dentro da integral:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Então, a antiderivada é:
Passo 8
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Resposta
A integral de linha vale
.