Esboce no plano a curva determinada pelas parametrizações onde:
Descreva a orientação. Calcule a velocidade escalar e obtenha |r'(\pi)|, ou seja, calcule a velocidade escalar da partícula que viaja no caminho vec(r)(t) no instante t = pi.
Passo 1
Estamos diante de um exercício que envolve parametrizações de curvas no espaço tridimensional e cálculo de velocidade escalar. Precisamos esboçar a curva definida por no plano , descrever sua orientação e calcular a velocidade escalar no instante . Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as funções paramétricas dadas:
As funções e são as coordenadas de um círculo no plano com raio 1, já que . A coordenada é constante, o que indica que a curva está situada em um plano paralelo ao deslocado 2 unidades ao longo do eixo .
Passo 3
Como é constante, a curva está localizada no plano . Portanto, a curva é um círculo de raio 1 no plano horizontal a uma altura de 2 unidades no eixo .
Passo 4
Para descrever a orientação da curva, observamos como os pontos são traçados conforme varia de 0 a . Quando , . Conforme aumenta, diminui e aumenta, movendo-se no sentido anti-horário ao redor do círculo. Portanto, a orientação da curva é no sentido anti-horário quando vista do topo do eixo .
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , que nos dá o vetor velocidade :
Passo 6
A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade :
Sabemos que , então:
Isso significa que a velocidade escalar é constante e igual a 1 unidade por segundo para qualquer valor de no intervalo dado.
Resposta
A curva é um círculo de raio 1 no plano , orientado no sentido anti-horário. A velocidade escalar da partícula é unidade por segundo, inclusive no instante .