Esboce no plano x y z a curva determinada pelas parametrizações r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k onde:
x(t) = cos(t), y(t) = sen(t), z(t) = 2 para 0 <= t <= 2 pi
Descreva a orientação. Calcule a velocidade escalar |r'(t)| e obtenha |r'(\pi)|, ou seja, calcule a velocidade escalar da partícula que viaja no caminho vec(r)(t) no instante t = pi.

Passo 1

Estamos diante de um exercício que envolve parametrizações de curvas no espaço tridimensional e cálculo de velocidade escalar. Precisamos esboçar a curva definida por no plano , descrever sua orientação e calcular a velocidade escalar no instante . Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as funções paramétricas dadas:
As funções e são as coordenadas de um círculo no plano com raio 1, já que . A coordenada é constante, o que indica que a curva está situada em um plano paralelo ao deslocado 2 unidades ao longo do eixo .

Passo 3

Como é constante, a curva está localizada no plano . Portanto, a curva é um círculo de raio 1 no plano horizontal a uma altura de 2 unidades no eixo .

Passo 4

Para descrever a orientação da curva, observamos como os pontos são traçados conforme varia de 0 a . Quando , . Conforme aumenta, diminui e aumenta, movendo-se no sentido anti-horário ao redor do círculo. Portanto, a orientação da curva é no sentido anti-horário quando vista do topo do eixo .

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , que nos dá o vetor velocidade :

Passo 6

A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade :
Sabemos que , então:
Isso significa que a velocidade escalar é constante e igual a 1 unidade por segundo para qualquer valor de no intervalo dado.

Resposta

A curva é um círculo de raio 1 no plano , orientado no sentido anti-horário. A velocidade escalar da partícula é unidade por segundo, inclusive no instante .

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