Calcule as integrais de linhas:
, onde
é a fronteira do círculo
orientado no sentido horário.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira do círculo
orientado no sentido horário. Vamos usar o Teorema de Green que relaciona integrais de linha com integrais duplas, aplicando conceitos de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções que compõem a integral de linha. Temos:
Essas funções representam os componentes da função vetorial
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias para o Teorema de Green:
Passo 4
Aplicamos o Teorema de Green, que diz que:
Substituindo as derivadas encontradas:
Passo 5
Calculamos a integral dupla sobre a região
, que é um círculo de raio 1. A área de
é:
Portanto:
Contudo, a orientação da curva
é no sentido horário, que é a orientação negativa. Assim, o valor da integral de linha fica:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde
é a fronteira do triângulo com vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retangulo
,
orientado no sentido anti-horário.