Calcule as integrais de linhas:
ointgamma(ln (x)-2 y) d x+(2 x+e^y) d y, onde gamma é a fronteira do círculo K=(x, y) in R^2, x^2+y^2 <= 1 orientado no sentido horário.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
ointgamma(ln (x)-2 y) dx+(2 x+e^y) dy, onde gamma é a fronteira do círculo K=(x, y) in R^2, x^2+y^2 <= 1 orientado no sentido horário. Vamos usar o Teorema de Green que relaciona integrais de linha com integrais duplas, aplicando conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que compõem a integral de linha. Temos:
  • P(x, y) = ln(x) - 2y
  • Q(x, y) = 2x + e^y
Essas funções representam os componentes da função vetorial F = P i + Q j.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias para o Teorema de Green:
  • partial Qpartial x = partialpartial x(2x + e^y) = 2
  • partial Ppartial y = partialpartial y(ln(x) - 2y) = -2

Passo 4

Aplicamos o Teorema de Green, que diz que:
ointgamma P dx + Q dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Substituindo as derivadas encontradas:
integral duplaK (2 - (-2)) dA = integral duplaK 4 , dA

Passo 5

Calculamos a integral dupla sobre a região K, que é um círculo de raio 1. A área de K é:
Área = pi r^2 = pi (1)^2 = pi Á
Portanto:
integral duplaK 4 , dA = 4 times pi = 4pi
Contudo, a orientação da curva gamma é no sentido horário, que é a orientação negativa. Assim, o valor da integral de linha fica:
ointgamma (ln(x) - 2y) dx + (2x + e^y) dy = -4pi

Resposta

O valor da integral é -4pi.

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