Calcule as integrais de linhas:
, onde é a fronteira do círculo orientado no sentido horário.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
, onde é a fronteira do círculo orientado no sentido horário. Vamos usar o Teorema de Green que relaciona integrais de linha com integrais duplas, aplicando conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que compõem a integral de linha. Temos:
Essas funções representam os componentes da função vetorial .

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias para o Teorema de Green:

Passo 4

Aplicamos o Teorema de Green, que diz que:
Substituindo as derivadas encontradas:

Passo 5

Calculamos a integral dupla sobre a região , que é um círculo de raio 1. A área de é:
Á
Portanto:
Contudo, a orientação da curva é no sentido horário, que é a orientação negativa. Assim, o valor da integral de linha fica:

Resposta

O valor da integral é .

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, onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retangulo , orientado no sentido anti-horário.