Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é a borda de um triângulo com vértices em , e , orientado no sentido anti-horário. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que nos permite transformar uma integral de linha em uma integral dupla. A fórmula é:
No nosso caso, temos e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 4

Agora, precisamos descrever a região , que é a área do triângulo com vértices em , e . Vamos identificar as equações das retas que formam as bordas desse triângulo para definir os limites da integração.
  1. Base do triângulo: Entre e , a equação é .
  2. Lado direito: Entre e , a equação da reta é encontrada pela inclinação:
  3. Lado esquerdo: Entre e , a equação da reta é:

Passo 5

Com as equações das retas, podemos determinar os limites de integração para a integral dupla. Vamos integrar primeiro em e depois em .
  • Limites para : De a .
  • Limites para : Para cada , varia de (lado esquerdo) até (lado direito).
Então, a integral dupla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Calculando nos limites:
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a de a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
A diferença é:

Resposta

O valor da integral de linha é .

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