Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
ointgamma y x d x+x y d y, onde gamma é a fronteira do triângulo com vértices (0,1),(3,1) e (2,2) orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha ointgamma yx , dx + xy , dy, onde gamma é a borda de um triângulo com vértices em (0,1), (3,1) e (2,2), orientado no sentido anti-horário. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que nos permite transformar uma integral de linha em uma integral dupla. A fórmula é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, temos P = yx e Q = xy. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (xy)partial x = y
partial Ppartial y = partial (yx)partial y = x
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y - x

Passo 4

Agora, precisamos descrever a região D, que é a área do triângulo com vértices em (0,1), (3,1) e (2,2). Vamos identificar as equações das retas que formam as bordas desse triângulo para definir os limites da integração.
  1. Base do triângulo: Entre (0,1) e (3,1), a equação é y = 1.
  2. Lado direito: Entre (3,1) e (2,2), a equação da reta é encontrada pela inclinação:
    y - 1 = -1(x - 3) Rightarrow y = -x + 4
  3. Lado esquerdo: Entre (2,2) e (0,1), a equação da reta é:
    y - 2 = 1 - 20 - 2(x - 2) Rightarrow y = -12x + 3

Passo 5

Com as equações das retas, podemos determinar os limites de integração para a integral dupla. Vamos integrar primeiro em x e depois em y.
  • Limites para y: De 1 a 2.
  • Limites para x: Para cada y, x varia de 2(y - 1) (lado esquerdo) até 4 - y (lado direito).
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD (y - x) , dA = integral1^2 integral2(y - 1)^4 - y (y - x) , dx , dy

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a x:
integral2(y - 1)^4 - y (y - x) , dx = [ yx - 12x^2 ]2(y - 1)^4 - y
Calculando nos limites:
[ y(4 - y) - 12(4 - y)^2 ] - [ y(2(y - 1)) - 12(2(y - 1))^2 ]
Simplificando:
6y - 6 - 32y^2

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a y de 1 a 2:
integral1^2 (6y - 6 - 32y^2) dy = [ 3y^2 - 6y - 12y^3 ]1^2
Calculando nos limites:
Para y = 2:
3(4) - 6(2) - 12(8) = 12 - 12 - 4 = -4
Para y = 1:
3(1) - 6(1) - 12(1) = 3 - 6 - 0,5 = -3,5
A diferença é:
-4 - (-3,5) = -0,5

Resposta

O valor da integral de linha é -0,5.

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