Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde
é a fronteira do triângulo com vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
é a borda de um triângulo com vértices em
,
e
, orientado no sentido anti-horário. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que nos permite transformar uma integral de linha em uma integral dupla. A fórmula é:
No nosso caso, temos
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos descrever a região
, que é a área do triângulo com vértices em
,
e
. Vamos identificar as equações das retas que formam as bordas desse triângulo para definir os limites da integração.
-
Base do triângulo: Entre
e , a equação é . -
Lado direito: Entre
e , a equação da reta é encontrada pela inclinação: -
Lado esquerdo: Entre
e , a equação da reta é:
Passo 5
Com as equações das retas, podemos determinar os limites de integração para a integral dupla. Vamos integrar primeiro em
e depois em
.
- Limites para
: De a . - Limites para
: Para cada , varia de (lado esquerdo) até (lado direito).
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Calculando nos limites:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
de
a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
A diferença é:
Resposta
O valor da integral de linha é
.
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, onde
é a fronteira do retângulo
,
orientado no sentido anti-horário.
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, onde
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