Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retangulo , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral ao longo da fronteira de um retângulo definido por e , orientado no sentido anti-horário. Nós vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicar ele aqui para transformar uma integral de linha em uma integral dupla, que é mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e que estão na integral de linha. Aqui, temos:
O Teorema de Green nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, a expressão dentro da integral dupla fica:
Então, nossa integral dupla é:

Passo 4

Vamos calcular a integral dupla sobre o retângulo :
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral de linha é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas:
, onde é a fronteira do círculo orientado no sentido horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário.