Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
ointgamma(y^2+raiz4-x^2) d x+(ln (y)-2 x) d y, onde gamma é a fronteira do retangulo K=(x, y) in R^2, 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral ao longo da fronteira de um retângulo definido por e , orientado no sentido anti-horário. Nós vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicar ele aqui para transformar uma integral de linha em uma integral dupla, que é mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P(x, y) = y^2 + raiz4 - x^2 e Q(x, y) = ln(y) - 2x que estão na integral de linha. Aqui, temos:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
O Teorema de Green nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (ln(y) - 2x) = -2
partial Ppartial y = partialpartial y ( y^2 + raiz4 - x^2 ) = 2y
Agora, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -2 - 2y
Então, nossa integral dupla é:
integral duplaK (-2 - 2y) , dA

Passo 4

Vamos calcular a integral dupla sobre o retângulo integral duplaK (-2 - 2y) , dA = integral0^2 integral0^1 (-2 - 2y) , dy , dx :
integral0^1 (-2 - 2y) , dy = [ -2y - y^2 ]0^1 = (-2(1) - (1)^2) - (0) = -2 -1 = -3
Primeiro, integramos em relação a integral0^2 (-3) , dx = -3x |0^2 = -3(2) - (-3)(0) = -6 :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral de linha é .

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