Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
ointgamma(4 x^2-9 y) d x+(9 x y+raizy^2+1) d y, onde gamma é a fronteira do triângulo K com vértices (1,0),(1,2) e (3,0) orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral ao longo da fronteira de um triângulo com vértices em , e . Para isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P(x, y) = 4x^2 - 9y e Q(x, y) = 9xy + raizy^2 + 1 da integral dada:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
O Teorema de Green nos diz que:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (9xy + raizy^2 + 1) = 9y
partial Ppartial y = partialpartial y (4x^2 - 9y) = -9
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 9y - (-9) = 9y + 9 = 9(y + 1)

Passo 4

Agora, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região integral duplaK 9(y + 1) , dx , dy :
Vamos desenhar o triângulo com os vértices , e . Para facilitar, vamos determinar os limites de integração.

Passo 5

Observando o triângulo:
  • O lado vertical vai de a quando .
  • O lado inclinado conecta a . A equação dessa reta é .
Então, para indo de 1 a 3, varia de 0 até .

Passo 6

Montando a integral dupla:
integralx=1^3 integraly=0^-x + 3 9(y + 1) , dy , dx
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a .

Passo 7

Integral interna:
integral0^-x + 3 9(y + 1) , dy = 9 [ 12y^2 + y ]0^-x + 3
Avaliando nos limites:
9 [ 12(-x + 3)^2 + (-x + 3) ]
Expandindo:
9 [ 12(x^2 - 6x + 9) - x + 3 ] = 9 ( 12x^2 - 3x + 4.5 - x + 3 ) = 9 ( 12x^2 - 4x + 7.5 )
Simplificando:
92x^2 - 36x + 67.5

Passo 8

Agora, resolvemos a integral externa:
integral1^3 ( 92x^2 - 36x + 67.5 ) , dx
Integrando termo a termo:
92 cdot x^33 - 36 cdot x^22 + 67.5x |1^3
Simplificando:
32x^3 - 18x^2 + 67.5x |1^3

Passo 9

Avaliando nos limites:
Para 32(27) - 18(9) + 67.5(3) = 40.5 - 162 + 202.5 = 81 :
32(1) - 18(1) + 67.5(1) = 1.5 - 18 + 67.5 = 51
Para 81 - 51 = 30 :
Subtraindo:

Resposta

A integral de linha vale 30.

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