Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green: , onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral ao longo da fronteira de um triângulo com vértices em , e . Para isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções e da integral dada:
O Teorema de Green nos diz que:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região :
Vamos desenhar o triângulo com os vértices , e . Para facilitar, vamos determinar os limites de integração.
Passo 5
Observando o triângulo:
O lado vertical vai de a quando .
O lado inclinado conecta a . A equação dessa reta é .
Então, para indo de 1 a 3, varia de 0 até .
Passo 6
Montando a integral dupla:
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a .
Passo 7
Integral interna:
Avaliando nos limites:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral externa:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
32x^3 - 18x^2 + 67.5x |1^3
Passo 9
Avaliando nos limites:
Para 32(27) - 18(9) + 67.5(3) = 40.5 - 162 + 202.5 = 81 :