Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo da fronteira de um retângulo
definido por
e
. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele afirma que, para uma curva fechada
que delimita uma região
, temos:
Aqui,
e
. Nosso objetivo é calcular a integral do lado direito, que é uma integral dupla sobre a região
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre o retângulo
onde
e
.
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla. Como a região
é um retângulo com limites simples, podemos escrever:
Vamos primeiro integrar em relação a
.
Passo 6
Integrando
em relação a
de
a
:
Passo 7
Agora, integramos o resultado obtido em relação a
de
a
:
Resposta
A integral de linha
ao longo da fronteira do retângulo
é igual a 6.