Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
ointgamma y^2 d x+2 x^2 d y, onde gamma é a fronteira do retângulo K=(x, y) in R^2, 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha ointgamma y^2 dx + 2 x^2 dy ao longo da fronteira de um retângulo K definido por 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele afirma que, para uma curva fechada gamma que delimita uma região R, temos:
ointgamma P dx + Q dy = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, P = y^2 e Q = 2x^2. Nosso objetivo é calcular a integral do lado direito, que é uma integral dupla sobre a região K.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada parcial de Q em relação a x:
partial Qpartial x = partialpartial x (2x^2) = 4x
Agora, a derivada parcial de P em relação a y:
partial Ppartial y = partialpartial y (y^2) = 2y

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
integral duplaK ( 4x - 2y ) dA
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre o retângulo K onde 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1.

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla. Como a região K é um retângulo com limites simples, podemos escrever:
integralx=0^2 integraly=0^1 (4x - 2y) , dy , dx
Vamos primeiro integrar em relação a y.

Passo 6

Integrando 4x - 2y em relação a y de 0 a 1:
integral0^1 (4x - 2y) , dy = 4x integral0^1 dy - 2 integral0^1 y , dy = 4x (1 - 0) - 2 ( 1^22 - 0^22 ) = 4x - 2 ( 12 ) = 4x - 1

Passo 7

Agora, integramos o resultado obtido em relação a x de 0 a 2:
integral0^2 (4x - 1) , dx = 4 integral0^2 x , dx - integral0^2 1 , dx = 4 ( 2^22 - 0^22 ) - (2 - 0) = 4 (2) - 2 = 8 - 2 = 6

Resposta

A integral de linha ointgamma y^2 dx + 2 x^2 dy ao longo da fronteira do retângulo K é igual a 6.

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