Calcule as integrais de linhas:
ointgamma-2 x^2 y d x+raiz8-ln (y+2) d y, onde gamma é a fronteira do retangulo K=(x, y) in R^2, 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1 orientado no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integral de linha. A gente precisa calcular a integral de linha ao longo da fronteira de um retângulo no plano, com uma orientação no sentido horário. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva gamma que é a fronteira do retângulo K definido por 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1. Como a orientação é no sentido horário, isso significa que estamos percorrendo a fronteira de 2 para 0 em x e de 1 para 0 em y, o que é o sentido oposto ao usual (no sentido anti-horário).

Passo 3

A integral que precisamos calcular é:
ointgamma -2x^2y , dx + raiz8 - ln(y + 2) , dy
Vamos chamar isso de ointgamma P , dx + Q , dy, onde P = -2x^2y e Q = raiz8 - ln(y + 2).

Passo 4

Para aplicar o Teorema de Green, precisamos verificar se as condições são atendidas. O Teorema de Green nos diz que:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Mas antes, vamos verificar se as funções P e Q têm derivadas parciais contínuas na região K.

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x raiz8 - ln(y + 2) = 0
porque Q não depende de x. Já para partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y (-2x^2y) = -2x^2

Passo 6

Substituindo no Teorema de Green:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaK ( 0 - (-2x^2) ) , dx , dy = integral duplaK 2x^2 , dx , dy

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral dupla sobre o retângulo K:
integral duplaK 2x^2 , dx , dy = 2 integral0^1 integral0^2 x^2 , dx , dy

Passo 8

Integrando em relação a x primeiro:
integral0^2 x^2 , dx = [ x^33 ]0^2 = 83 - 0 = 83
Agora, multiplicando por 2 e integrando em relação a y:
2 times 83 times integral0^1 dy = 163 times 1 = 163

Resposta

A integral de linha é igual a 163.

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