Calcule as integrais de linhas:
, onde
é a fronteira do retangulo
,
orientado no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integral de linha. A gente precisa calcular a integral de linha ao longo da fronteira de um retângulo no plano, com uma orientação no sentido horário. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva
que é a fronteira do retângulo
definido por
e
. Como a orientação é no sentido horário, isso significa que estamos percorrendo a fronteira de 2 para 0 em
e de 1 para 0 em
, o que é o sentido oposto ao usual (no sentido anti-horário).
Passo 3
A integral que precisamos calcular é:
Vamos chamar isso de
, onde
e
.
Passo 4
Para aplicar o Teorema de Green, precisamos verificar se as condições são atendidas. O Teorema de Green nos diz que:
Mas antes, vamos verificar se as funções
e
têm derivadas parciais contínuas na região
.
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
porque
não depende de
. Já para
:
Passo 6
Substituindo no Teorema de Green:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral dupla sobre o retângulo
:
Passo 8
Integrando em relação a
primeiro:
Agora, multiplicando por 2 e integrando em relação a
:
Resposta
A integral de linha é igual a
.