Calcule as integrais de linhas:
, onde e são as fronteiras dos círculos e orientados no sentido horário e anti-horário, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular duas integrais de linha sobre os limites de dois círculos diferentes. Vamos precisar usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é uma integral de linha. Imagine que temos um campo vetorial no plano, e queremos somar todas as pequenas contribuições desse campo ao longo de um caminho fechado. No nosso caso, o campo vetorial é dado por:
E queremos calcular a integral de linha dessa função ao longo de dois círculos diferentes.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Green, que nos permite transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pelo caminho. O teorema diz que:
Onde é uma curva fechada orientada positivamente (no sentido anti-horário), e é a região limitada por .

Passo 4

Aplicando o teorema ao nosso campo vetorial, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral para cada círculo separadamente, lembrando das orientações:
  1. Círculo : , orientado no sentido horário.
  2. Círculo : , orientado no sentido anti-horário.
O sentido da orientação afeta o sinal da integral. Para o círculo orientado no sentido horário, a integral de linha será o negativo da integral de área correspondente.

Passo 6

Vamos calcular a integral dupla para cada círculo:
  • Para :
(O sinal negativo devido à orientação horária)
  • Para :

Passo 7

Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Sabemos que:
E o elemento de área em coordenadas polares é .
Substituindo na expressão :

Passo 8

Agora, integrando sobre os círculos:
  • Para (raio 1):
  • Para (raio 2):

Passo 9

Vamos integrar em relação a primeiro:
  • Para :
  • Para :

Resposta

A soma das integrais de linha é .

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Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira de orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira do círculo orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas:
, onde é a fronteira do retangulo , orientado no sentido horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo , orientado no sentido anti-horário.