Calcule as integrais de linhas:
, onde
e
são as fronteiras dos círculos
e
orientados no sentido horário e anti-horário, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular duas integrais de linha sobre os limites de dois círculos diferentes. Vamos precisar usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é uma integral de linha. Imagine que temos um campo vetorial no plano, e queremos somar todas as pequenas contribuições desse campo ao longo de um caminho fechado. No nosso caso, o campo vetorial é dado por:
E queremos calcular a integral de linha dessa função ao longo de dois círculos diferentes.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema de Green, que nos permite transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pelo caminho. O teorema diz que:
Onde
é uma curva fechada orientada positivamente (no sentido anti-horário), e
é a região limitada por
.
Passo 4
Aplicando o teorema ao nosso campo vetorial, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral para cada círculo separadamente, lembrando das orientações:
- Círculo
: , orientado no sentido horário. - Círculo
: , orientado no sentido anti-horário.
O sentido da orientação afeta o sinal da integral. Para o círculo orientado no sentido horário, a integral de linha será o negativo da integral de área correspondente.
Passo 6
Vamos calcular a integral dupla para cada círculo:
- Para
:
(O sinal negativo devido à orientação horária)
- Para
:
Passo 7
Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Sabemos que:
E o elemento de área em coordenadas polares é
.
Substituindo na expressão
:
Passo 8
Agora, integrando sobre os círculos:
- Para
(raio 1):
- Para
(raio 2):
Passo 9
Vamos integrar em relação a
primeiro:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A soma das integrais de linha é
.
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Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde
é a fronteira de
orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde
é a fronteira do círculo
orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas:
, onde
é a fronteira do retangulo
,
orientado no sentido horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
,
orientado no sentido anti-horário.