Calcule as integrais de linhas:
ointgamma1(y^3+5) d x+x^3 d y+ointgamma2(y^3+5) d x+x^3 d y, onde gamma1 e gamma2 são as fronteiras dos círculos x^2+y^2 <= 1 e x^2+y^2 <= 4 orientados no sentido horário e anti-horário, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular duas integrais de linha sobre os limites de dois círculos diferentes. Vamos precisar usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é uma integral de linha. Imagine que temos um campo vetorial no plano, e queremos somar todas as pequenas contribuições desse campo ao longo de um caminho fechado. No nosso caso, o campo vetorial é dado por:
F(x, y) = ( y^3 + 5, , x^3 )
E queremos calcular a integral de linha dessa função ao longo de dois círculos diferentes.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Green, que nos permite transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pelo caminho. O teorema diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Onde é uma curva fechada orientada positivamente (no sentido anti-horário), e é a região limitada por .

Passo 4

Aplicando o teorema ao nosso campo vetorial, temos:
P = y^3 + 5 e Q = x^3
Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 3x^2 e partial Ppartial y = 3y^2
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 - 3y^2

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral para cada círculo separadamente, lembrando das orientações:
  1. Círculo : , orientado no sentido horário.
  2. Círculo : , orientado no sentido anti-horário.
O sentido da orientação afeta o sinal da integral. Para o círculo orientado no sentido horário, a integral de linha será o negativo da integral de área correspondente.

Passo 6

Vamos calcular a integral dupla para cada círculo:
  • Para ointgamma1 F cdot dr = - integral duplaD1 (3x^2 - 3y^2) dx , dy :
ointgamma2 F cdot dr = integral duplaD2 (3x^2 - 3y^2) dx , dy
(O sinal negativo devido à orientação horária)
  • Para :

Passo 7

Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Sabemos que:
x = r cos theta e y = r sin theta
E o elemento de área em coordenadas polares é 3x^2 - 3y^2 = 3r^2 cos^2 theta - 3r^2 sin^2 theta = 3r^2 (cos^2 theta - sin^2 theta) = 3r^2 cos(2theta) .
Substituindo na expressão :

Passo 8

Agora, integrando sobre os círculos:
  • Para - integral duplaD1 3r^2 cos(2theta) , r , dr , dtheta = -3 integral0^2pi integral0^1 r^3 cos(2theta) , dr , dtheta (raio 1):
integral duplaD2 3r^2 cos(2theta) , r , dr , dtheta = 3 integral0^2pi integral0^2 r^3 cos(2theta) , dr , dtheta
  • Para (raio 2):

Passo 9

Vamos integrar em relação a -3 integral0^2pi [ r^44 ]0^1 cos(2theta) , dtheta = -3 cdot 14 integral0^2pi cos(2theta) , dtheta = -34 cdot 0 = 0 primeiro:
  • Para 3 integral0^2pi [ r^44 ]0^2 cos(2theta) , dtheta = 3 cdot 164 integral0^2pi cos(2theta) , dtheta = 12 cdot 0 = 0 :
  • Para :

Resposta

A soma das integrais de linha é .

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