Calcule o volume de cada sólido descrito abaixo
(b) A base é o círculo . As seções transversais paralelas e perpendiculares à base são triângulos equiláteros.

Passo 1

Então, o problema nos pede para calcular o volume de um sólido que tem como base um círculo definido pela equação . Além disso, as seções transversais desse sólido, que são fatias cortadas paralelamente ou perpendiculares à base, são triângulos equiláteros. Vamos usar conceitos de cálculo integral para resolver isso, especificamente a integração para encontrar volumes de sólidos com seções conhecidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a área de um triângulo equilátero. Um triângulo equilátero tem todos os lados iguais e todos os ângulos iguais a 60 graus. A área de um triângulo equilátero com lado é dada por:
Vamos usar essa fórmula para encontrar a área das seções transversais em função de uma variável, e depois integrar para achar o volume total.

Passo 3

Como a base é um círculo de raio 1, podemos considerar a integração ao longo do eixo , de a . Em cada posição , a largura do círculo é . Essa largura será o lado do triângulo equilátero naquela seção.

Passo 4

Substituindo o valor de na fórmula da área:
Agora, temos a área da seção transversal em função de .

Passo 5

Para encontrar o volume total do sólido, integramos a área de a :
Devido à simetria do círculo, podemos simplificar a integral multiplicando por 2 e integrando de 0 a 1:

Passo 6

Calculando a integral:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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