Calcule o volume de cada sólido descrito abaixo
(b) A base é o círculo
. As seções transversais paralelas e perpendiculares à base são triângulos equiláteros.
(b) A base é o círculo
Passo 1
Então, o problema nos pede para calcular o volume de um sólido que tem como base um círculo definido pela equação
. Além disso, as seções transversais desse sólido, que são fatias cortadas paralelamente ou perpendiculares à base, são triângulos equiláteros. Vamos usar conceitos de cálculo integral para resolver isso, especificamente a integração para encontrar volumes de sólidos com seções conhecidas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a área de um triângulo equilátero. Um triângulo equilátero tem todos os lados iguais e todos os ângulos iguais a 60 graus. A área
de um triângulo equilátero com lado
é dada por:
Vamos usar essa fórmula para encontrar a área das seções transversais em função de uma variável, e depois integrar para achar o volume total.
Passo 3
Como a base é um círculo de raio 1, podemos considerar a integração ao longo do eixo
, de
a
. Em cada posição
, a largura do círculo é
. Essa largura será o lado
do triângulo equilátero naquela seção.
Passo 4
Substituindo o valor de
na fórmula da área:
Agora, temos a área da seção transversal em função de
.
Passo 5
Para encontrar o volume total do sólido, integramos a área
de
a
:
Devido à simetria do círculo, podemos simplificar a integral multiplicando por 2 e integrando de 0 a 1:
Passo 6
Calculando a integral:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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é a fronteira do retângulo
,
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,
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