Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira de orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha usando o Teorema de Green. Esse teorema nos permite transformar uma integral de contorno em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva . Para isso, vamos precisar identificar as funções envolvidas na integral e calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções e na integral de linha dada:
O Teorema de Green afirma que:
Portanto, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, vamos definir a região . Sabemos que:
Portanto, a integral dupla fica:

Passo 5

Primeiro, vamos integrar em relação a :
Subtraindo os dois resultados:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Calculando cada parte separadamente:
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

O valor da integral de linha é .

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Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira do círculo orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas:
, onde e são as fronteiras dos círculos e orientados no sentido horário e anti-horário, respectivamente.
Calcule as integrais de linhas:
, onde é a fronteira do retangulo , orientado no sentido horário.