Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
ointgamma raizy d x+raizx d y, onde gamma é a fronteira de K=(x, y) in R^2, 0 <= x <= 1,0 <= y <= x^2 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha ointgamma raizy , dx + raizx , dy usando o Teorema de Green. Esse teorema nos permite transformar uma integral de contorno em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva gamma. Para isso, vamos precisar identificar as funções envolvidas na integral e calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções P e Q na integral de linha dada:
P(x, y) = raizy, Q(x, y) = raizx
O Teorema de Green afirma que:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Portanto, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = ddx raizx = 12raizx
partial Ppartial y = ddy raizy = 12raizy
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
integral duplaK ( 12raizx - 12raizy ) dA

Passo 4

Agora, vamos definir a região K. Sabemos que:
0 <= x <= 1, 0 <= y <= x^2
Portanto, a integral dupla fica:
integral0^1 integral0^x^2 ( 12raizx - 12raizy ) dy , dx

Passo 5

Primeiro, vamos integrar em relação a y:
integral0^x^2 12raizx , dy = 12raizx cdot y |0^x^2 = x^22raizx = x^3/22
integral0^x^2 12raizy , dy = 12 cdot 2raizy |0^x^2 = raizx^2 - 0 = x
Subtraindo os dois resultados:
x^3/22 - x

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a x:
integral0^1 ( x^3/22 - x ) dx
Calculando cada parte separadamente:
integral0^1 x^3/22 , dx = 12 cdot 25 x^5/2 |0^1 = 15
integral0^1 x , dx = 12 x^2 |0^1 = 12
Subtraindo os dois resultados:
15 - 12 = -310

Resposta

O valor da integral de linha é -dfrac310.

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