Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green para um retângulo específico. O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial que relaciona integrais de linha ao redor de um caminho fechado com integrais duplas sobre a região que esse caminho delimita. No nosso caso, vamos aplicar isso para o retângulo definido por e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele nos diz que para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de um caminho fechado é igual à integral dupla sobre a região limitada por da diferença das derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Matematicamente, isso é expresso como:

Passo 3

No nosso exercício, temos e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, vamos achar :
Agora, vamos achar :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Podemos fatorar o 9:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral dupla sobre a região , que é o retângulo e .
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais de linhas:
, onde é a fronteira do retangulo , orientado no sentido horário.
Calcule as integrais de linhas:
, onde e são as fronteiras dos círculos e orientados no sentido horário e anti-horário, respectivamente.
Calcule o volume de cada sólido descrito abaixo
(b) A base é o círculo . As seções transversais paralelas e perpendiculares à base são triângulos equiláteros.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário.