Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
,
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green para um retângulo específico. O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial que relaciona integrais de linha ao redor de um caminho fechado com integrais duplas sobre a região que esse caminho delimita. No nosso caso, vamos aplicar isso para o retângulo definido por
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele nos diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de um caminho fechado
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
da diferença das derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Matematicamente, isso é expresso como:
Passo 3
No nosso exercício, temos
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, vamos achar
:
Agora, vamos achar
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Podemos fatorar o 9:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral dupla sobre a região
, que é o retângulo
e
.
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linhas:
, onde
é a fronteira do retangulo
,
orientado no sentido horário.
Calcule as integrais de linhas:
, onde
e
são as fronteiras dos círculos
e
orientados no sentido horário e anti-horário, respectivamente.
Calcule o volume de cada sólido descrito abaixo
(b) A base é o círculo . As seções transversais paralelas e perpendiculares à base são triângulos equiláteros.
(b) A base é o círculo
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
orientado no sentido anti-horário.