Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
ointgamma(4 x^2-9 y) d x+(9 x y+raizy^2+1) d y, onde gamma é a fronteira do retângulo K=(x, y) in R^2, 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green para um retângulo específico. O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial que relaciona integrais de linha ao redor de um caminho fechado com integrais duplas sobre a região que esse caminho delimita. No nosso caso, vamos aplicar isso para o retângulo definido por e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele nos diz que para um campo vetorial ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA , a integral de linha ao redor de um caminho fechado é igual à integral dupla sobre a região limitada por da diferença das derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Matematicamente, isso é expresso como:

Passo 3

No nosso exercício, temos partial Qpartial x = partialpartial x (9xy + raizy^2 + 1) = 9y + 0 = 9y e partial Ppartial y = partialpartial y (4x^2 - 9y) = 0 - 9 = -9 . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, vamos achar :
Agora, vamos achar :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaK (9y - (-9)) dA = integral duplaK (9y + 9) dA
Podemos fatorar o 9:
integral duplaK 9(y + 1) dA = 9 integral duplaK (y + 1) dA

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral dupla sobre a região 9 integral0^2 integral0^1 (y + 1) , dy , dx , que é o retângulo integral0^1 (y + 1) , dy = [ 12 y^2 + y ]0^1 = ( 12 cdot 1^2 + 1 ) - 0 = 12 + 1 = 32 e 9 integral0^2 32 , dx = 9 cdot 32 cdot (2 - 0) = 9 cdot 32 cdot 2 = 9 cdot 3 = 27 .
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral de linha é igual a .

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