Calcule as integrais de linhas:
ointgamma y^2 d x+2 x^2 d y, onde gamma é a fronteira do triângulo K com vértices (0,0),(1,2) e (1,0) orientado no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de um caminho específico. Aqui, o caminho é a fronteira de um triângulo com vértices em (0,0), (1,2) e (1,0), e está orientado no sentido horário. Vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial e, principalmente, usar o Teorema de Green para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral que precisamos calcular:
ointgamma y^2 , dx + 2 x^2 , dy
Essa é uma integral de linha ao longo da curva γ, que é a fronteira do triângulo.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área limitada por essa curva. O Teorema de Green diz que:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Onde e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (2x^2) = 4x
partial Ppartial y = partialpartial y (y^2) = 2y
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
integral duplaK (4x - 2y) , dA

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração para a região K, que é o triângulo com vértices em (0,0), (1,2) e (1,0). Observando o triângulo, podemos ver que x varia de 0 a 1. Para cada x, y varia de 0 até a linha que vai de (1,0) a (1,2), que é simplesmente y = 2x.

Passo 6

Então, nossa integral dupla fica:
integralx=0^1 integraly=0^2x (4x - 2y) , dy , dx
Vamos resolver a integral interna em relação a y primeiro.

Passo 7

Integrando integral0^2x (4x - 2y) , dy = 4x cdot y - y^2 |0^2x = 4x(2x) - (2x)^2 - [0 - 0] = 8x^2 - 4x^2 = 4x^2 em relação a y:

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a x:
integral0^1 4x^2 , dx = 43x^3 |0^1 = 43(1) - 0 = 43

Passo 9

Lembrando que a orientação da curva é horário, o que significa que devemos inverter o sinal da integral de Green:
ointgamma y^2 , dx + 2 x^2 , dy = -43

Resposta

ointgamma y^2 , dx + 2 x^2 , dy = -43

Exercícios relacionados