Calcule as integrais de linhas: , onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de um caminho específico. Aqui, o caminho é a fronteira de um triângulo com vértices em (0,0), (1,2) e (1,0), e está orientado no sentido horário. Vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial e, principalmente, usar o Teorema de Green para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral que precisamos calcular:
Essa é uma integral de linha ao longo da curva γ, que é a fronteira do triângulo.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área limitada por essa curva. O Teorema de Green diz que:
Onde e .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração para a região K, que é o triângulo com vértices em (0,0), (1,2) e (1,0). Observando o triângulo, podemos ver que x varia de 0 a 1. Para cada x, y varia de 0 até a linha que vai de (1,0) a (1,2), que é simplesmente y = 2x.
Passo 6
Então, nossa integral dupla fica:
Vamos resolver a integral interna em relação a y primeiro.
Passo 7
Integrando em relação a y:
Passo 8
Agora, integramos o resultado em relação a x:
Passo 9
Lembrando que a orientação da curva é horário, o que significa que devemos inverter o sinal da integral de Green: